Question

【題目】已知函數(shù).

（1）如是函數(shù)的極值點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的值并討論的單調(diào)性；

（2）若是函數(shù)的極值點(diǎn)，且恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍（注：已知常數(shù)滿足）.

Answer 1

【答案】（1），在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；（2）.

【解析】

試題分析：（1）由是函數(shù)的極值點(diǎn)，得可得得值，由導(dǎo)數(shù)和單調(diào)性的關(guān)系得其單調(diào)區(qū)間；（2）由題意知，設(shè)，知得單調(diào)遞增，即是在上的唯一零點(diǎn)，得，，使得即可，結(jié)合，得參數(shù)范圍.

試題解析：（1）∵是函數(shù)的極值點(diǎn)，∴.

∴，.

令，，

∴在上單調(diào)遞增，，.

∴當(dāng)，；當(dāng)，.

∴在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，

此時(shí)，當(dāng)時(shí)，取極小值.

（2），設(shè)，

則.∴在上單調(diào)遞增，

∴在上單調(diào)遞增.

∵是函數(shù)的極值點(diǎn)，

∴是在上的唯一零點(diǎn)，

∴.

∵，，

，，

∴在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，∴有最小值.

∴.

∵恒成立，

∴，∴，

∴.∵，∴，

∴，

.