Question

(14分) 已知函數(shù)．
（1）當時，求曲線在點處的切線方程；
（2）當時，判斷方程實根個數(shù).
（3）若時，不等式恒成立，求實數(shù)的取值范圍.

Answer 1

（1）；（2）在內(nèi)有且僅有一個實數(shù)根
（3）

解析試題分析：（1）利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義得到導(dǎo)數(shù)的值，切點坐標得到結(jié)論。
（2）時，令，
求解導(dǎo)數(shù)，并判定又，
在內(nèi)有且僅有一個零點進而得到結(jié)論。
（3）恒成立， 即恒成立，
又，則當時，恒成立，
分離參數(shù)法構(gòu)造新函數(shù)利用求解的最小值得到參數(shù)m的范圍。
（1）時，，，切點坐標為，
切線方程為
（2）時，令，
，在上為增函數(shù)
又，
在內(nèi)有且僅有一個零點
在內(nèi)有且僅有一個實數(shù)根
（或說明也可以）
（3）恒成立， 即恒成立，
又，則當時，恒成立，
令，只需小于的最小值，
，
， ， 當時，
在上單調(diào)遞減，在的最小值為，
則的取值范圍是
考點：本題主要是考查導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的運用，求解最值和導(dǎo)數(shù)幾何意義的綜合運用。
點評：解決該試題的關(guān)鍵是能將不等式的恒成立問題轉(zhuǎn)化為哈雙女戶的最值來處理，并得到參數(shù)的范圍，同時要理解導(dǎo)數(shù)的幾何意義表示的為切線的斜率。