Question

已知函數(shù)，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)（）時(shí)，.
（1）求在[0，1]內(nèi)的值域；
（2）為何值時(shí)，不等式在[1，4]上恒成立.

Answer 1

(1)值域?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/37/7/h7ye.png" style="vertical-align:middle;" />；(2)當(dāng)時(shí)，不等式在[1，4]上恒成立.

解析試題分析： （1）根據(jù)題意得到和是函數(shù)的零點(diǎn)且，然后得到解析式。
（2）令
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/1b/7/r2tqq1.png" style="vertical-align:middle;" />上單調(diào)遞減，要使在[1，4]上恒成立，只要求解g(x)的最大值即可。
由題意得和是函數(shù)的零點(diǎn)且，則（此處也可用韋達(dá)定理解）解得：
               ------------6分
(1)由圖像知，函數(shù)在內(nèi)為單調(diào)遞減，所以：當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，.
在內(nèi)的值域?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/37/7/h7ye.png" style="vertical-align:middle;" />       --------------- 8分
(2)令
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/1b/7/r2tqq1.png" style="vertical-align:middle;" />上單調(diào)遞減，要使在[1，4]上恒成立，
則需要，即
解得當(dāng)時(shí)，不等式在[1，4]上恒成立.    ------12分
考點(diǎn)：本題主要考查了二次函數(shù)的圖像與x軸的位置關(guān)系，以及二次函數(shù)的 最值問題的運(yùn)用。
點(diǎn)評：解決該試題的關(guān)鍵是根據(jù)題意得到和是函數(shù)的零點(diǎn)且，進(jìn)而求解得到解析式，進(jìn)一步研究函數(shù)在給定區(qū)間的最值。