Question

14．設(shè)${a_n}={n^2}-2kn+6$（n∈N^*，k∈R）
（1）證明：k≤1是{a_n}為遞增數(shù)列的充分不必要條件；
（2）若$?n∈{N^*}，\frac{a_n}{n}≥1$，求k的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）a_n+1-a_n＞0，解得k＜$\frac{2n+1}{2}$，進而證明．
（2）$?n∈{N^*}，\frac{a_n}{n}≥1$，可得$n+\frac{6}{n}$≥2k+1，利用數(shù)列的單調(diào)性即可得出．

解答 （1）證明：a_n+1-a_n=（n+1）²-2k（n+1）+6-[n²-2kn+6]=2n+1-2k＞0，解得k＜$\frac{2n+1}{2}$，
∴k＜$\frac{3}{2}$．
∴k≤1是{a_n}為遞增數(shù)列的充分不必要條件；
（2）解：∵$?n∈{N^*}，\frac{a_n}{n}≥1$，
∴$n+\frac{6}{n}$-2k≥1，即$n+\frac{6}{n}$≥2k+1，
∵$n+\frac{6}{n}$≥5，
∴2k+1≤5，
∴k≤2．
∴k的取值范圍是k≤2．

點評 本題考查了數(shù)列的單調(diào)性、充要條件的判定、恒成立問題，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．