Question

（本小題滿分12分）已知圓，直線

（1） 求證：對，直線與圓總有兩個不同的交點(diǎn)A、B；

（2） 求弦AB的中點(diǎn)M的軌跡方程，并說明其軌跡是什么曲線；

（3） 若定點(diǎn)P（1，1）滿足，求直線的方程。

Answer 1

（1）證明見解析；（2），為圓的軌跡方程；（3）或；

【解析】

試題分析：（1）由題可知，判斷直線與圓的位置關(guān)系，我們常采取兩種方法，圓心到直線的距離與半徑的比較，若距離大于半徑，則位置關(guān)系是相離，若距離等于半徑，則位置關(guān)系是相切，若距離小于半徑，則位置關(guān)系是相交；或是判斷直線所經(jīng)過的定點(diǎn)和圓的關(guān)系，點(diǎn)在圓內(nèi)，則位置關(guān)系是相交，點(diǎn)在圓上，則位置關(guān)系是相切，點(diǎn)在圓外，則位置關(guān)系是相離；（2）關(guān)于求軌跡方程的問題，求哪個點(diǎn)的軌跡就設(shè)哪個點(diǎn)的坐標(biāo)，通過題中的條件將x，y的關(guān)系式求出，即得軌跡方程；（3）過一點(diǎn)的直線用點(diǎn)斜式設(shè)出，再和圓的方程聯(lián)立，由韋達(dá)定理以及，得出直線方程為或；

試題解析：（Ⅰ）解法一：圓的圓心為，半徑為。

∴圓心C到直線的距離，∴直線與圓C相交，即直線與圓C總有兩個不同交點(diǎn)；

方法二：∵直線過定點(diǎn)，而點(diǎn)在圓內(nèi)∴直線與圓C相交，即直線與圓C總有兩個不同交點(diǎn)；（4分）

（Ⅱ）當(dāng)M與P不重合時，連結(jié)CM、CP，則，又因為

,

設(shè)，則，

化簡得：

當(dāng)M與P重合時，也滿足上式。

故弦AB中點(diǎn)的軌跡方程是。（8分）

（Ⅲ）設(shè)，，由，

∴，化簡的 ①

又由消去y得 （*）

∴ ② （10分）

由①②解得，帶入（*）式解得，

∴直線的方程為或。（12分）

考點(diǎn)：?直線與圓的位置關(guān)系?中點(diǎn)軌跡方程?直線方程的應(yīng)用