Question

11．已知函數(shù)f（x）=2^x，曲線(xiàn)C₁與g₁（x）=f（x）-$\frac{1}{a}$f（-x）的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，曲線(xiàn)C₂為g₂（x）=f（x）-af（-x）的圖象向右平移2個(gè)單位后所得，過(guò)x軸上的動(dòng)點(diǎn)M（t，0）作垂直于x軸的直線(xiàn)分別交曲線(xiàn)C₁、C₂于A、B兩點(diǎn)，若函數(shù)h（t）=y_A-y_B+x_A-x_B的最小值為m且m＞$\sqrt{7}$，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（　　）

• A． （$\frac{1}{2}$，2）
• B． （$\frac{1}{2}$，4）
• C． （$\frac{1}{4}$，2）
• D． （2，4）

Answer 1

分析 求得g₁（x）的解析式，由圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的特點(diǎn)，可得曲線(xiàn)C₁對(duì)應(yīng)的函數(shù)，再由圖象平移的特點(diǎn)，可得曲線(xiàn)C₂對(duì)應(yīng)的函數(shù)，再令x=t，求得A，B的縱坐標(biāo)，求得函數(shù)h（t），再由基本不等式可得最小值，解a的不等式可得a的范圍．

解答 解：g₁（x）=f（x）-$\frac{1}{a}$f（-x）=2^x-$\frac{1}{a}$•2^-x，
由圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，可得曲線(xiàn)C₁對(duì)應(yīng)的函數(shù)為y=-（2^-x-$\frac{1}{a}$•2^x），
g₂（x）=f（x）-af（-x）=2^x-a•2^-x，
由圖象向右平移2個(gè)單位可得曲線(xiàn)C₂對(duì)應(yīng)的函數(shù)為y=2^x-2-a•2^2-x，
令x=t可得y_A=-（2^-t-$\frac{1}{a}$•2^t），y_B=2^t-2-a•2^2-t，
即有h（t）=y_A-y_B+x_A-x_B=-（2^-t-$\frac{1}{a}$•2^t）-（2^t-2-a•2^2-t）
=（4a-1）•2^-t+（$\frac{1}{a}$-$\frac{1}{4}$）•2^t，
由于h（t）有最小值，則4a-1＞0，$\frac{1}{a}$-$\frac{1}{4}$＞0，
可得$\frac{1}{4}$＜a＜4，
又最小值m=2$\sqrt{（4a-1）（\frac{1}{a}-\frac{1}{4}）}$＞$\sqrt{7}$，
解得$\frac{1}{2}$＜a＜2．
綜上可得a的范圍是（$\frac{1}{2}$，2）．
故選A．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)的最值的求法，注意運(yùn)用基本不等式，同時(shí)考查圖象的對(duì)稱(chēng)性和圖象平移的應(yīng)用，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．