Question

6．某公司是一家專做某產(chǎn)品國內(nèi)外銷售的企業(yè)，第一批產(chǎn)品在上市40天內(nèi)全部售完，該公司對第一批產(chǎn)品的銷售情況進行了跟蹤調(diào)查，其調(diào)查結(jié)果如下：圖①中的折線是國內(nèi)市場的銷售情況；圖②中的拋物線是國外市場的銷售情況；圖③中的折線是銷售利潤與上市時間的關(guān)系（國內(nèi)外市場相同）．

（1）求該公司第一批產(chǎn)品日銷售利潤Q（t）（單位：萬元）與上市時間t（單位：天）的關(guān)系式，
（2）求該公司第一批新產(chǎn)品上市后，從哪一天開始國內(nèi)市場日銷售利潤不小于國外市場？

Answer 1

分析 （1）運用一次函數(shù)的解析式可得f（t），再設(shè)g（t）=at（t-40），代入（20，60），即可得到g（t）；設(shè)每件產(chǎn)品A的銷售利潤為q（t），求得q（t），可得Q（t）=q（t）•[f（t）+g（t）]；
（2）由題意可得國內(nèi)外銷售利潤q（t）與上市時間t相同，要使國內(nèi)市場日銷售利潤不小于國外市場，只需國內(nèi)市場銷售量f（t）不小于國外市場日銷售量g（t）．討論t的范圍：①當0≤t≤30時，②當30＜t≤40時，解不等式即可得到結(jié)論．

解答 解：（1）由圖①得函數(shù)的解析式為：f（t）=$\left\{\begin{array}{l}{2t，0≤t≤30}\\{240-6t，30＜t≤40}\end{array}\right.$，
設(shè)國外市場的日銷售量g（t）=at（t-40），
g（20）=20a•（-20）=60，解得a=-$\frac{3}{20}$，
則g（t）=-$\frac{3}{20}$t²+6t（0≤t≤40）．
設(shè)每件產(chǎn)品A的銷售利潤為q（t），
則q（t）=$\left\{\begin{array}{l}{3t，0≤t≤20}\\{60，20＜t≤40}\end{array}\right.$，
從而這家公司的日銷售利潤Q（t）的解析式為：Q（t）=q（t）•[f（t）+g（t）]
=$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{9}{20}{t}^{3}+24{t}^{2}，0≤t≤20}\\{-9{t}^{2}+480t，20＜t≤30}\\{-9{t}^{2}+14400，30＜t≤40}\end{array}\right.$；
（2）由題意可得國內(nèi)外銷售利潤q（t）與上市時間t相同，
要使國內(nèi)市場日銷售利潤不小于國外市場，
只需國內(nèi)市場銷售量f（t）不小于國外市場日銷售量g（t）．
①當0≤t≤30時，令f（t）≥g（t），則2t≥-$\frac{3}{20}$t²+6t，解得$\frac{80}{3}$≤t≤30；
②當30＜t≤40時，令h（t）=f（t）-g（t）=$\frac{3}{20}$t²-12t+240，
由h（t）≥h（40）=0，可得30＜t≤40．
由①②可得該公司第一批新產(chǎn)品上市后，
從27開始國內(nèi)市場日銷售利潤不小于國外市場．

點評 本題考查分段函數(shù)的應(yīng)用題的解法，考查不等式的解法，考查分析問題和解決問題的能力，屬于中檔題．