Question

9．已知3^b=6^a-2^a，4^a=8^b-5^b，試判斷實數(shù)a，b的大小關(guān)系，并給出證明．

Answer 1

分析 利用反證法：假設(shè)a≥b，則3^a≥3^b，4^a≥4^b．由已知可得6^a=3^b+2^a≤3^a+2^a，8^b=4^a+5^b≥4^b+5^b，化為f（a）=$（\frac{1}{2}）^{a}+（\frac{1}{3}）^{a}$≥1，g（b）=$（\frac{1}{2}）^+（\frac{5}{8}）^$≤1，
利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可知：f（x）與g（x）在R上單調(diào)遞減，即可得出．

解答 解：假設(shè)a≥b，則3^a≥3^b，4^a≥4^b．
∴6^a=3^b+2^a≤3^a+2^a，8^b=4^a+5^b≥4^b+5^b，
化為f（a）=$（\frac{1}{2}）^{a}+（\frac{1}{3}）^{a}$≥1，g（b）=$（\frac{1}{2}）^+（\frac{5}{8}）^$≤1，
利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可知：f（x）與g（x）在R上單調(diào)遞減，
f（1）=$\frac{1}{2}+\frac{1}{3}$＜1，g（1）=$\frac{1}{2}+\frac{5}{8}$＞1，
∴f（a）≥1＞f（1），g（b）≤1＜g（1），
∴a＜1，b＞1，
∴a＜1＜b，
與假設(shè)a≥b，∴假設(shè)不成立．
∴a＜b．

點評 本題考查了指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性、反證法，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．