Question

4．若cos（α+$\frac{π}{6}$）=$\frac{\sqrt{6}}{3}$，且α∈（0，$\frac{π}{2}$），則cosα=$\frac{3\sqrt{2}+\sqrt{3}}{6}$，cos（2$α-\frac{π}{6}$）=-$\frac{1}{3}$．

Answer 1

分析 由同角三角函數(shù)基本關(guān)系可得sin（α+$\frac{π}{6}$），進(jìn)而由兩角差的余弦可得cosα，可得sinα，進(jìn)而由二倍角公式可得sin2α和cos2α，代入cos（2$α-\frac{π}{6}$）=$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2α-$\frac{1}{2}$cos2α，化簡可得．

解答 解：∵cos（α+$\frac{π}{6}$）=$\frac{\sqrt{6}}{3}$，且α∈（0，$\frac{π}{2}$），
∴sin（α+$\frac{π}{6}$）=$\sqrt{1-co{s}^{2}（α+\frac{π}{6}）}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴cosα=cos[（α+$\frac{π}{6}$）-$\frac{π}{6}$]
=$\frac{\sqrt{3}}{2}$cos（α+$\frac{π}{6}$）+$\frac{1}{2}$sin（α+$\frac{π}{6}$）
=$\frac{\sqrt{3}}{2}×\frac{\sqrt{6}}{3}$+$\frac{1}{2}×\frac{\sqrt{3}}{3}$=$\frac{3\sqrt{2}+\sqrt{3}}{6}$；
∴sinα=$\sqrt{1-co{s}^{2}α}$=$\frac{3-\sqrt{6}}{6}$，
∴sin2α=2sinαcosα=$\frac{2\sqrt{2}-\sqrt{3}}{6}$，
cos2α=2cos²α-1=$\frac{1+2\sqrt{6}}{6}$
∴cos（2$α-\frac{π}{6}$）=$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2α-$\frac{1}{2}$cos2α
=$\frac{\sqrt{3}}{2}×\frac{2\sqrt{2}-\sqrt{3}}{6}$-$\frac{1}{2}×\frac{1+2\sqrt{6}}{6}$=-$\frac{1}{3}$
故答案為：$\frac{3\sqrt{2}+\sqrt{3}}{6}$；-$\frac{1}{3}$

點評 本題考查兩角和與差的余弦公式，涉及同角三角函數(shù)基本關(guān)系和二倍角公式，屬中檔題．