Question

（2012•汕頭二模）如果函數(shù)f（x）對(duì)任意的實(shí)數(shù)x，存在常數(shù) M，使得不等式|f（x）|≤M|x|恒成立，那么就稱函數(shù)f（x）為有界泛函．給出下面三個(gè)函數(shù)：①f（x）=1；②f（x）=x²；③f(x)=

x

x2+x+1

．其中屬于有界泛函的是（　�。�

A．①

B．②

C．③

D．①②③

Answer 1

分析：根據(jù)有界泛函的定義逐項(xiàng)判斷即可：①可取x=0說(shuō)明f（x）不屬于有界泛函；②可說(shuō)明x≠0時(shí)，有

|f(x)|

|x|

=|x|無(wú)最大值；③可根據(jù)定義作出證明；

解答：解：①對(duì)于f（x）=1，當(dāng)x=0時(shí)，有|f（x）|=1＞M×0=0，故f（x）=1不屬于有界泛函；
②對(duì)于f（x）=x²，當(dāng)x≠0時(shí)，有

|f(x)|

|x|

=|x|無(wú)最大值，f（x）=x²不屬于有界泛函；
③對(duì)于f（x）=

x

x2+x+1

，當(dāng)x≠0時(shí)，有

|f(x)|

|x|

=|

1

x2+x+1

|=

1

(x+ 1 2 )2+ 3 4

≤

4

3

，當(dāng)x=0時(shí)，|f（x）|=

4

3

×0，
故f（x）=

x

x2+x+1

屬于有界泛函；
故選C．

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)恒成立問(wèn)題、新定義，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，注意體會(huì)恒成立問(wèn)題的否定方法．