Question

【題目】已知函數(shù).

（1）若，求函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)；

（2）若函數(shù)的最小值為2，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）零點(diǎn)個(gè)數(shù)為2；（2）.

【解析】

（1）由得或，再構(gòu)造函數(shù)，求出其單調(diào)區(qū)間和極值，可判斷出與的圖像只有一個(gè)交點(diǎn)，從而可求出其零點(diǎn)的個(gè)數(shù)；

（2）由于，所以可化為，通過對(duì)求導(dǎo)判斷其單調(diào)區(qū)間極值，可得其值域?yàn)?/span>，所以問題轉(zhuǎn)化為當(dāng)時(shí)，有解，得，然后構(gòu)造函數(shù)求其值域可得的取值范圍.

（1）依題意，，令，

解得或，

令，則，

故當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，

故當(dāng)時(shí)，有最小值，且當(dāng)時(shí)，，

故只有1個(gè)實(shí)數(shù)根，故當(dāng)時(shí)，函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為2.

（2）依題意，，

設(shè)，則，

故函數(shù)可化為，

由，可得的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為，

所以的最小值為，

故函數(shù)的值域?yàn)?/span>，

問題轉(zhuǎn)化為當(dāng)時(shí)，有解，

即，得，

設(shè)，則，

故的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為，

所以的最小值為，故實(shí)數(shù)的取值范圍為.