Question

【題目】動(dòng)點(diǎn)到點(diǎn)的距離與到直線的距離的比值為．

（1）求動(dòng)點(diǎn)的軌跡的方程；

（2）過(guò)點(diǎn)的直線與點(diǎn)的軌跡交于兩點(diǎn)，，設(shè)點(diǎn)，到直線的距離分別為，，當(dāng)時(shí)，求直線的方程．

Answer 1

【答案】（1）；（2）或.

【解析】

（1）設(shè)的坐標(biāo)為，由題意可得等式，整理可得動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程；（2）由題意，可知直線的斜率為0時(shí)，不符合題意，當(dāng)直線的斜率不為0時(shí)，則設(shè)直線的方程為：，將的方程與橢圓方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理求出，，進(jìn)而求出，可求出的值，進(jìn)而求出直線的方程．

解：（1）設(shè)的坐標(biāo)為，由題意可得，

整理可得：，

所以動(dòng)點(diǎn)的軌跡的方程為：；

（2）當(dāng)直線的斜率為0時(shí)，則直線為，

可得，，

則由題意，，則；

當(dāng)直線的斜率不為0時(shí)，則設(shè)直線的方程為：，

設(shè)，，，，

聯(lián)立直線與橢圓的方程：，

整理可得，

則，，

所以，到的距離之差為：

，

由題意可得，整理可得：，

解得：，即，

所以直線的方程為：或.