Question

14．已知點M，N是拋物線y=4x²上不同的兩點，F(xiàn)為拋物線的焦點，且滿足$∠MFN=\frac{2π}{3}$，弦MN的中點P到直線l：$y=-\frac{1}{16}$的距離記為d，若|MN|²=λ•d²，則λ的最小值為（　　）

• A． 3
• B． $\sqrt{3}$
• C． $1+\sqrt{3}$
• D． 4

Answer 1

分析 求得拋物線的焦點和準線方程，設|MF|=a，|NF|=b，由∠MFN=120°，運用余弦定理可得|MN|，運用拋物線的定義和中位線定理可得d=$\frac{1}{2}$（|MF|+|NF|）=$\frac{1}{2}$（a+b），運用基本不等式計算即可得到所求最小值．

解答 解：拋物線y=4x²的焦點F（0，$\frac{1}{16}$），準線為y=-$\frac{1}{16}$，
設|MF|=a，|NF|=b，由∠MFN=120°，
可得|MN|²=|MF|²+|NF|²-2|MF|•|NF|•cos∠MFN=a²+b²+ab，
由拋物線的定義可得M到準線的距離為|MF|，N到準線的距離為|NF|，
由梯形的中位線定理可得d=$\frac{1}{2}$（|MF|+|NF|）=$\frac{1}{2}$（a+b），
由|MN|²=λ•d²，可得$\frac{1}{4}$λ=1-$\frac{ab}{（a+b）^{2}}$≥1-$\frac{1}{4}$=$\frac{3}{4}$，
可得λ≥3，當且僅當a=b時，取得最小值3，
故選：A

點評 本題考查拋物線的定義、方程和性質，考查余弦定理和基本不等式的運用：求最值，考查化簡整理的運算能力，屬于中檔題．