Question

5．雙曲線$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{4}$=1的一個(gè)頂點(diǎn)到一條漸近線的距離為$\sqrt{2}$，則該雙曲線的離心率為$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 求得雙曲線的頂點(diǎn)和一條漸近線方程，運(yùn)用點(diǎn)到直線的距離公式，求得a=b=2，進(jìn)而得到雙曲線的離心率．

解答 解：設(shè)a＞0，則雙曲線$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{4}$=1的一個(gè)頂點(diǎn)為（a，0），
一條漸近線方程為y=$\frac{2}{a}$x，即為2x-ay=0，
由一個(gè)頂點(diǎn)到一條漸近線的距離為$\sqrt{2}$，
可得$\frac{2a}{\sqrt{4+{a}^{2}}}$=$\sqrt{2}$，
解得a=2，
即有c=2$\sqrt{2}$，
e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{2}$．
故答案為：$\sqrt{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查雙曲線的方程和性質(zhì)，主要考查漸近線方程和離心率的求法，屬于中檔題．