Question

設(shè)函數(shù)在點處的切線方程為.

(1)求實數(shù)及的值；

(2)求證：對任意實數(shù)，函數(shù)有且僅有兩個零點.

Answer 1

(1) (2)詳見解析

【解析】

試題分析：(1) 由導(dǎo)數(shù)幾何意義得： ， ，又 ，，解得 (2)先根據(jù)導(dǎo)數(shù)確定函數(shù)走勢：在上單調(diào)減，在上單調(diào)增，有最小值，因為，所以在上一定有一解，在上有且僅有一解；難點在證明存在使，這時需構(gòu)造一個函數(shù)易得，從而，取，從而得證.

試題解析：(1) 2分

所以在點處的切線方程為

其中， 4分

解得 6分

(2)

當(dāng)時，在上單調(diào)減

當(dāng)時，在上單調(diào)增

所以有最小值 8分

又，所以在上一定有一解 10分

下面證明存在使

令，

所以當(dāng)時，在上單調(diào)減

當(dāng)時，，

取 12分

所以在上一定有一解 14分

綜上所述，函數(shù)在上有且僅有兩個零點. 16分

考點：導(dǎo)數(shù)幾何意義，導(dǎo)數(shù)應(yīng)用