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已知函數(shù)F（x）=

f(x)

x

在定義域（0，+∞）內(nèi)為單調(diào)增函數(shù)
（1）若f（x）=lnx+ax²，求a的取值范圍
（2）設(shè)x₀是f（x）的零點，m，n∈（0，x₀），求證，

f(m+n)

f(m)+f(n)

＜1．

已知二次函數(shù)f（x）滿足：f（0）=f（1）=1，且f(

1

2

)=

3

4

．
（Ⅰ）求f（x）的解析式；
（Ⅱ）求f（x）在(-

1

2

，2)的值域．

已知凼數(shù)F（x）為二次凼數(shù)，且F（x）的導(dǎo)凼數(shù)為f（x），若存在實數(shù)a∈（-2，-1），使f（-a）=-f（a）＞0，則不等式F（2x-1）＞F（x）的解集為（　�。�

函數(shù)f（x）=e^x+x²+x+1與g（x）的圖象關(guān)于直線2x-y-3=0對稱，P，Q分別是函數(shù)f（x），g（x）圖象上的動點，則|PQ|的最小值為（　�。�

已知函數(shù)f（x）=

-x3+ax2+bx，(x＜1) - 3 2 clnx，(x≥1) ，

的圖象在點（-1，f（-1））處的切線方程為5x+y+3=0．
（I）求實數(shù)a，b的值及函數(shù)f（x）在區(qū)間[-1，2]上的最大值；
（Ⅱ）曲線y=f（x）上存在兩點M、N，使得△MON是以坐標原點O為直角頂點的直角三角形，且斜邊MN的中點在y軸上，求實數(shù)c的取值范圍．

若曲線C₁：y=ax³-6x²+12x與曲線C₂：y=e^x在x=1處的兩條切線互相垂直，則實數(shù)a的值為．

已知等差數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n=-5n²+20n，求數(shù)列{|a_n|}的前n項和T_n．

已知函數(shù)f（x）=

lnx+k

ex

（其中k∈R，e=2.71828…是自然數(shù)的底數(shù)），f′（x）為f（x）的導(dǎo)函數(shù)．
（1）當(dāng)k=2時，求曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線方程；
（2）若x∈（0，1]時，f′（x）=0都有解，求k的取值范圍；
（3）若f′（1）=0，試證明：對任意x＞0，f′（x）＜

e-2+1

x2+x

恒成立．

已知數(shù)列{a_n}的首項a₁=1，a₂=3，前n項和為S_n，且

Sn+1-Sn

Sn-Sn-1

=

2an+1

an

，（n≥2，n∈N^•），設(shè)b₁=1，b_n+1=log₂（a_n+1）+b_n
（Ⅰ）判斷數(shù)量{a_n+1}是否為等比數(shù)列，并證明你的結(jié)論；
（Ⅱ）設(shè)C_n=

4 bn+1-1 n+1

anan+1

，證明

n

k=1

Ck＜1；
（Ⅲ）對于（Ⅰ）中數(shù)列{a_n}，若數(shù)列{l_n}滿足l_n=log₂（a_n+1）（n∈N^•），在每兩個l_k與l_k+1之間都插入2^k-1（k=1，2，3，…，k∈N^•）個2，使得數(shù)列{l_n}變成了一個新的數(shù)列{t_p}，（p∈N^•）試問：是否存在正整數(shù)m，使得數(shù)列{t_p}的前m項的和T_m=2011？如果存在，求出m的值；如果不存在，說明理由．

已知{a_n}中，a₁=1，

an+1

an

=

1

2

，則數(shù)列{a_n}的通項公式是（　�。�