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【題目】已知拋物線
的焦點(diǎn)
恰好是橢圓
的右焦點(diǎn).
(1)求實(shí)數(shù)
的值及拋物線
的準(zhǔn)線方程;
(2)過點(diǎn)
任作兩條互相垂直的直線分別交拋物線
于
、
和
、
點(diǎn),求兩條弦的弦長之和
的最小值.
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【題目】某班隨機(jī)抽查了20名學(xué)生的數(shù)學(xué)成績,分?jǐn)?shù)制成如圖的莖葉圖,其中A組學(xué)生每天學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)時間不足1個小時,B組學(xué)生每天學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)時間達(dá)到一個小時。學(xué)校規(guī)定90分及90分以上記為優(yōu)秀,75分及75分以上記為達(dá)標(biāo),75分以下記為未達(dá)標(biāo).
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(1)分別求出A、B兩組學(xué)生的平均分
、
并估計全班的數(shù)學(xué)平均分
;
(2)現(xiàn)在從成績優(yōu)秀的學(xué)生中任意抽取2人,求這兩人恰好都來自B組的概率;
(3)根據(jù)成績得到如下列聯(lián)表:
![]()
①直接寫出表中
的值;
②判斷是否有
的把握認(rèn)為“數(shù)學(xué)成績達(dá)標(biāo)與否”與“每天學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)時間能否達(dá)到一小時”有關(guān).
參考公式與臨界值表:K2=
.
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【題目】已知數(shù)列
中,
,
,
的前
項和為
,且滿足
(
).
(1)試求數(shù)列
的通項公式;
(2)令
,
是
的前
項和,證明:
;
(3)證明:對任意給定的
,均存在
,使得
時,(2)中的
恒成立.
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【題目】
對定義在區(qū)間
上的函數(shù)
,若存在閉區(qū)間
和常數(shù)
,使得對任意的
都有
,且對任意的
都有
恒成立,則稱函數(shù)
為區(qū)間
上的“U型”函數(shù)。
(1)求證:函數(shù)
是
上的“U型”函數(shù);
(2)設(shè)
是(1)中的“U型”函數(shù),若不等式
對一切的
恒成立,求實(shí)數(shù)
的取值范圍;
(3)若函數(shù)
是區(qū)間
上的“U型”函數(shù),求實(shí)數(shù)
和
的值.
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【題目】設(shè)函數(shù)
由方程
確定,下列結(jié)論正確的是________(請將你認(rèn)為正確的序號都填上)
①
是
上的單調(diào)遞減函數(shù);
② 對于任意
,
恒成立;
③ 對于任意
,關(guān)于
的方程
都有解;
④
存在反函數(shù)
,且對任意
,總有
成立.
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【題目】已知函數(shù)
(a>0,a≠1).
(1)判斷并證明函數(shù)f(x)的奇偶性;
(2)若f(t2
t
1)+f(t
2)<0,求實(shí)數(shù)t的取值范圍.
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【題目】已知雙曲線的中心在原點(diǎn),
、
為左、右焦點(diǎn),焦距是實(shí)軸長的
倍,雙曲線過點(diǎn)
.
![]()
(1)求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)若點(diǎn)
在雙曲線上,求證:點(diǎn)
在以
為直徑的圓上;
(3)在(2)的條件下,若直線
交雙曲線于另一點(diǎn)
,求
的面積.
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【題目】設(shè)數(shù)列
的各項都是正數(shù),且對于任意
都有
,記
為數(shù)列
的前
項和.
(1)計算
的值;
(2)求數(shù)列
的通項公式;
(3)設(shè)
,若
為單調(diào)遞增數(shù)列,求
的取值范圍.
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【題目】設(shè)函數(shù)
,
,
,記
.
(1)求曲線
在
處的切線方程;
(2)求函數(shù)
的單調(diào)區(qū)間;
(3)當(dāng)
時,若函數(shù)
沒有零點(diǎn),求
的取值范圍.
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