Question

不可伸長的絕緣輕繩長為R，一端系于O點，另一端系一質(zhì)量為m、電量為+q 的點電荷，點電荷可在xoy平面內(nèi)繞O點做半徑為R的圓周運動，如圖甲所示，本題計算中忽略點電荷的重力．
（1）當(dāng)點電荷以速率v₀沿+y方向通過A（R，0）點的瞬間，在空間中加沿x軸正方向的勻強電場E₀，如圖乙所示，要使點電荷能做完整的圓周運動，電場強度E₀需滿足何條件？
（2）在（1）問中，其他條件不變，將空間中的電場用垂直xoy平面向里的勻強磁場B₀代替，如圖所示，要使點電荷仍能做半徑為R的圓周運動，磁感應(yīng)強度B₀需滿足何條件？
（3）變化的磁場周圍可以激發(fā)感生電場，若上述磁場隨時間均勻變化，會在點電荷運動的圓形軌道上產(chǎn)生一個環(huán)形電場，其電場線是閉合的，各點場強大小相等．現(xiàn)在空間加一垂直xoy平面向里的勻強磁場，其磁感應(yīng)強度B變化情況如圖丁所示，t=0時刻點電荷的速率為v₀，輕繩一直處于伸直狀態(tài)．試求0～T時間內(nèi)，軌道中形成的感生電場E_感的大小，并在圖戊中作出點電荷在0～5T時間內(nèi)v～t圖象，要求寫出主要的分析過程．

Answer 1

分析：（1）要使點電荷能做完整的圓周運動，當(dāng)點電荷運動到最左端繩子張力F≥0．先根據(jù)動能定理求出此時電荷的速度，由牛頓第二定律和向心力公式結(jié)合求E₀需滿足的條件．
（2）磁場垂直紙面向內(nèi)，對點電荷產(chǎn)生的洛倫茲力始終指向O點，由洛倫茲力與繩子拉力的合力提供向心力時，點電荷能做完整的圓周運動，繩子的拉力F′≥0，由牛頓第二定律列式求解．
（3）分四段時間分析，根據(jù)法拉第電磁感應(yīng)定律求感生電動勢，當(dāng)感生電動勢一定時，點電荷所受電場力大小一定，在圓形軌道上作勻加速圓周運動，由牛頓第二定律求出速度的表達式；當(dāng)感生電動勢為零時，點電荷不所受電場力，在圓形軌道上作勻速圓周運動．

解答：解：（1）分析可知，點電荷運動到最左端繩子張力最小，設(shè)此時速度大小為v
由動能定理-qE₀-2R=

1

2

mv2-

1

2

m

v

2 0

在最左端時qE₀+F=m

v2

R

得F=

m v 2 0 -5qE0R

R

當(dāng)F≥0時，點電荷能做完整圓周運動，解得E₀≤

m v 2 0

5qR

（2）磁場垂直紙面向內(nèi)，對點電荷產(chǎn)生的洛倫茲力始終指向O點，
對任一點進行受力分析有qv₀B+F′=

m v 2 0

R

得F′=

m v 2 0

R

-qv_oB
當(dāng)F′≥0時，點電荷能做完整的圓周運動，解得B₀≤

mv0

qR

（3）0至T時間內(nèi)磁場均勻變化，激發(fā)的感生電動勢為E，則
E=

△φ

△t

=S

△B

△t

=πR2

(B1-B0)

T

感生電場的場強 E_感=

E

2πR

=

R(B1-B0)

2T

①0～T時間內(nèi)，磁場均勻增加，感生電場的場強大小一定，點電荷在圓形軌道上作勻加速圓周運動，加速度大小a=

qE感

m

=

qR(B1-B0)

2mT

經(jīng)時間T后，速度大小v₁=v₀+aT=v₀+

qR(B1-B0)

2m

②T～2T時間內(nèi)磁場不變，感生電場的場強為零，點電荷在圓形軌道上作勻速圓周運動，速率v₁不變．
③2T～4T時間內(nèi)磁場均勻減小，感生電場的場強大小一定，點電荷在圓形軌道上作勻
減速圓周運動，加速度大小a′=

qE感

m

=

qR(B1-B0)

4mT

=

a

2

經(jīng)時間2T后，v₂=v₁-a′（2T）=v₀+

qR(B1-B0)

4mT

-

qR(B1-B0)

2m

=v₀
④4T～5T時間內(nèi)磁場變，感生電場的場強為零，點電荷在圓形軌道上作勻速圓周運動，速率v₀不變．
根據(jù)以上結(jié)果，作圖如下．
答：
（1）電場強度E₀需滿足E₀≤

m v 2 0

5qR

．
（2）磁感應(yīng)強度B₀需滿足得B₀≤

mv0

qR

．
（3）0～T時間內(nèi)，軌道中形成的感生電場E_感的大小為

R(B1-B0)

2T

．點電荷在0～5T時間內(nèi)v～t圖象如圖所示．

點評：本題中帶電粒子在復(fù)合場中做圓周運動時，關(guān)鍵要找出物理的“最高點”，分析臨界條件，只要點電荷能通過此點，就能做完整的圓周運動，可與重力場中豎直平面內(nèi)的圓周運動類比，運用動能定理和牛頓第二定律進行分析求解．