Question

PQ、MN間存在勻強(qiáng)電場，場強(qiáng)為E，沿場強(qiáng)方向固定一絕緣細(xì)桿，桿上套有兩個(gè)質(zhì)量均為m的絕緣小球A、B，小球A帶正電，電荷量為q，小球B不帶電．將A、B從相距為L的兩點(diǎn)由靜止釋放，之后A、B間的碰撞為彈性碰撞，碰撞時(shí)間極短且碰撞時(shí)沒有電荷轉(zhuǎn)移，運(yùn)動(dòng)中小球A的電荷量不變，求：
（1）從A、B間的第一次碰撞到發(fā)生第二次碰撞，小球A運(yùn)動(dòng)的距離；
（2）若小球B出電場時(shí)的動(dòng)能為16qEL，則A、B間發(fā)生了幾次碰撞？
（3）若小球B出電場時(shí)的動(dòng)能為16qEL，則小球A出電場時(shí)的動(dòng)能多大？

Answer 1

分析：（1）A、B間發(fā)生彈性碰撞，遵守動(dòng)量守恒和機(jī)械能守恒，根據(jù)兩大守恒列式可知：由于質(zhì)量相等，兩球交換速度．先根據(jù)動(dòng)能定理求出第一次碰撞前A的速度，根據(jù)碰撞的規(guī)律得到碰后兩球的速度．再運(yùn)用動(dòng)能定理和運(yùn)動(dòng)學(xué)公式結(jié)合求解即可；
（2）運(yùn)用動(dòng)能定理和運(yùn)動(dòng)學(xué)公式結(jié)合，分別求出碰撞第二次、第三次碰撞后小球B出電場時(shí)的動(dòng)能，即可判斷A、B間發(fā)生了幾次碰撞．
（3）若第四次碰撞發(fā)生后小球A即離開電場，對A球運(yùn)用動(dòng)能定理求解小球A出電場時(shí)的動(dòng)能．若小球A在將要發(fā)生第五次碰撞時(shí)才離開電場，運(yùn)用動(dòng)能定理和運(yùn)動(dòng)學(xué)公式求解即可．

解答：解：A、B間發(fā)生彈性碰撞，設(shè)每次碰撞A、B的速度分別為v₁、v₂，碰后的速度分別為v′₁、v′₂，
由動(dòng)量守恒定律和能量守恒定律得：
 mv₁+mv₂=mv′₁+mv′₂ ①
 

1

2

m

v

2 1

+

1

2

m

v

2 2

=

1

2

mv

’

2 1

+

1

2

mv

’

2 2

  ②
聯(lián)立①②解得 v′₁=v₂，v′₂=v₁或v′₁=v₁，v′₂=v₂（舍去），即每次碰撞兩球都交換速度．
（1）設(shè)第一次碰撞前小球A的速度為v₁，由動(dòng)能定理得：qEL=

1

2

m

v

2 11

  ③
則第一次碰撞后 v′₁₁=0，v′₂₁=v₁₁，小球A又開始做初速度為零的勻加速運(yùn)動(dòng)，小球B則以速度v₁做勻速運(yùn)動(dòng)，設(shè)從A、B間的第一次碰撞到第二次碰撞前小球A運(yùn)動(dòng)的距離為L₂，則
 qEL2=

1

2

m

v

2 12

 ④
L2=v11t，L2=

v12

2

t  ⑤
聯(lián)立③④⑤解得 v₁₂=2v₁₁，L₂=4L
（2）第二次碰后v′₁₂=v₁₁，v′₂₂=v₁₂=2v₁₁，設(shè)第三次碰撞前A運(yùn)動(dòng)的距離為L₃，則   qEL3=

1

2

m

v

2 13

-

1

2

m

v

2 11

  ⑥
L3=v12t，L3=

v11+v13

2

t  ⑦
聯(lián)立解得：v₁₃=3v₁₁，L₃=8L₁=2L₂
第三次碰后v′₁₃=v₁₂=2v₁₁，v′₂₃=v₁₃=3v₁₁，小球B的動(dòng)能為Ek3=

1

2

m

v

2 13

=9

1

2

m

v

2 11

=32qEL，
因此當(dāng)小球B出電場時(shí)的動(dòng)能為16qEL=4²qEL時(shí)，A、B間發(fā)生了四次碰撞．
（3）第四次碰撞后，小球A的速度v′₁₄=v₁₃=3v₁₁，若第四次碰撞發(fā)生后小球A即離開電場，則A的動(dòng)能  EkA=

1

2

m

v

2 13

=9qEL，
若小球A在將要發(fā)生第五次碰撞時(shí)才離開電場，則qEL5=E′kA-

1

2

m

v

2 13

  ⑧
  L₅=2（n-1）L₂=8L₂=16L  ⑨
解得：E′_kA=25qEL，故有 9qEL≤E_kA＜25qEL
答：
（1）從A、B間的第一次碰撞到發(fā)生第二次碰撞，小球A運(yùn)動(dòng)的距離為4L；
（2）若小球B出電場時(shí)的動(dòng)能為16qEL，則A、B間發(fā)生了四次碰撞．
（3）若小球B出電場時(shí)的動(dòng)能為16qEL，則小球A出電場時(shí)的動(dòng)能為9qEL≤E_kA＜25qEL．

點(diǎn)評(píng)：分析清楚物體的運(yùn)動(dòng)過程與運(yùn)動(dòng)性質(zhì)，抓住兩球彈性碰撞的基本規(guī)律：動(dòng)量守恒和機(jī)械能守恒，兩球質(zhì)量相等會(huì)交換速度．再應(yīng)用勻變速運(yùn)動(dòng)的速度公式、位移公式和動(dòng)能定理即可正確解題．