Question

6．如圖所示，兩平行豎直線MN、PQ間距離a，其間存在垂直紙面向里的勻強(qiáng)磁場(chǎng)（含邊界PQ），磁感應(yīng)強(qiáng)度為B，在MN上O點(diǎn)處有一粒子源，能射出質(zhì)量為m，電量為q的帶負(fù)電粒子，當(dāng)速度方向與OM夾角θ=60°時(shí)，粒子恰好垂直PQ方向射出磁場(chǎng)，不計(jì)粒子間的相互作用及重力．則（　�。�

• A． 粒子的速率為$\frac{2qBa}{m}$
• B． 粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為$\frac{πm}{3qB}$
• C． 若只改變粒子速度方向，使θ角能在0°至180°間不斷變化，則粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的最長時(shí)間為$\frac{2πm}{3qB}$
• D． 若只改變粒子速度方向，使θ角能在0°至180°間不斷變化，則PQ邊界上有粒子射出的區(qū)間長度為2$\sqrt{3}$a

Answer 1

分析 根據(jù)幾何關(guān)系，由θ=60°時(shí)出射方向求得粒子運(yùn)動(dòng)半徑，進(jìn)而求得速率、周期進(jìn)而求得運(yùn)動(dòng)時(shí)間；再根據(jù)θ的變化，由半徑根據(jù)幾何關(guān)系分析粒子運(yùn)動(dòng)情況，得到PQ邊界上有粒子射出的區(qū)間長度及粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的最長時(shí)間的情況，進(jìn)而求得時(shí)間．

解答 解：根據(jù)左手定則，由粒子帶負(fù)電即磁場(chǎng)方向可知粒子所受洛倫茲力的方向?yàn)樗俣鹊姆较蛴移?0°．
A、當(dāng)速度方向與OM夾角θ=60°時(shí)，粒子恰好垂直PQ方向射出磁場(chǎng)，
，
所以，粒子運(yùn)動(dòng)的半徑$R=\frac{a}{sin30°}=2a$．
由粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)，洛倫茲力作向心力可得，$Bvq=\frac{m{v}^{2}}{R}$，所以，$v=\frac{BqR}{m}=\frac{2Bqa}{m}$，故A正確；
B、粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的周期$T=\frac{2πR}{v}=\frac{4πa}{\frac{2Bqa}{m}}=\frac{2πm}{Bq}$，則粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間${t}_{1}=\frac{30°}{360°}T=\frac{1}{12}×\frac{2πm}{Bq}=\frac{πm}{6Bq}$，故B錯(cuò)誤；
D、當(dāng)θ=0°時(shí)，如圖所示，
，
可知粒子打在PQ上的位置為O點(diǎn)水平線上方$\sqrt{3}a$處；
當(dāng)θ增大時(shí)，粒子打在PQ上的位置下移，知道粒子的運(yùn)動(dòng)軌跡與PQ相切時(shí)，如圖所示，

可知粒子打在PQ上的位置為O點(diǎn)水平線下方$\sqrt{3}a$處；
當(dāng)θ繼續(xù)增大直到180°，粒子的運(yùn)動(dòng)軌跡與PQ不相交，直接從MN上射出，且在MN上的出射點(diǎn)不斷上移直到O點(diǎn)，所以，若只改變粒子速度方向，使θ角能在0°至180°間不斷變化，則PQ邊界上有粒子射出的區(qū)間長度為$2\sqrt{3}a$，故D正確；
C、若只改變粒子速度方向，使θ角能在0°至180°間不斷變化，則粒子運(yùn)動(dòng)半徑不變，那么粒子運(yùn)動(dòng)周期不變，所以，粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的軌跡所對(duì)應(yīng)的弦長越長，則粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的越長，由D的分析可知，當(dāng)粒子的出射點(diǎn)在PQ上時(shí)，粒子的弦長可取[a，2a]的任意值；當(dāng)粒子的出射點(diǎn)在MN上時(shí)，粒子的弦長可取$[0，2\sqrt{3}a]$的任意值；
所以，粒子運(yùn)動(dòng)軌跡的弦長最大可取$2\sqrt{3}a$，此時(shí)對(duì)應(yīng)的中心角φ=120°，所以，粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的最長時(shí)間${t}_{2}=\frac{120°}{360°}T=\frac{1}{3}T=\frac{1}{3}×\frac{2πm}{Bq}=\frac{2πm}{3Bq}$，故C正確．
故選：ACD．

點(diǎn)評(píng) 在粒子在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)問題上，常用幾何關(guān)系求解半徑，并根據(jù)幾何關(guān)系分析不同入射角的運(yùn)動(dòng)情況．