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湖北省八市2009年高三年級(jí)三月調(diào)考

數(shù)學(xué)（理科）

一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。請(qǐng)將答案填在答題卷相應(yīng)位置上。

1．設(shè)集合M＝{x|x≥2}，P＝{x|x＞1}，那么“x∈M∪P”是“x∈M∩P”的

A．充分不必要條件                                          B．必要不充分條件

C．充要條件                                                    D．既不充分也不必要條件

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2．若(1+5x)n的展開(kāi)式中各項(xiàng)系數(shù)之和為an，(7x2＋1)n的展開(kāi)式中各項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)之和為bn，則的值是

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A．                                B．                     C．1                      D．－

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3．Sn為等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，S9＝－36，S13＝－104，等比數(shù)列{bn}中，b5＝a5，b7＝a7，則b6等于

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A．                            B．±              C．±             D．32

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4．給出下列四個(gè)命題：

①若直線(xiàn)l⊥平面α，l∥平面β，則α⊥β；

②各側(cè)面都是正方形的棱柱一定是正棱柱；

③一個(gè)二面角的兩個(gè)半平面所在平面分別垂直于另一個(gè)二面角的兩個(gè)半平面所在平面，則這兩個(gè)二面角的平面角互為補(bǔ)角；

④過(guò)空間任意一點(diǎn)一定可以作一個(gè)和兩條異面直線(xiàn)都平行的平面。

其中正確的命題的個(gè)數(shù)有

A．1                                  B．2                       C．3                      D．4

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5．某一批袋裝大米，質(zhì)量服從正態(tài)分布N(10，0.01)(單位：kg)，任選一袋大米，它的質(zhì)量是9.8kg～10.2kg內(nèi)的概率為(已知Φ(1)＝0.8413，Φ(2)＝0.9772)

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A．0.8413                         B．0.9544              C．0.9772             D．0.6826

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6．已知正數(shù)x、y滿(mǎn)足等式x＋y－2xy＋4＝0，則

A．xy的最大值是2，且x＋y的最小值為4         B．xy的最小值是4，且x＋y的最大值為4

C．xy的最大值是2，且x＋y的最大值為4         D．xy的最小值是4，且x＋y的最小值為4

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7．在航天員進(jìn)行的一項(xiàng)太空實(shí)驗(yàn)中，先后要實(shí)施6個(gè)程序，其中程序A只能出現(xiàn)在第一步或最后一步，程序B和C實(shí)施時(shí)必須相鄰，請(qǐng)問(wèn)實(shí)驗(yàn)順序的編排方法共有

A．24種                            B．48種                  C．96種                 D．144種

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8．已知函數(shù)f (x)＝xln(ax)＋ex－1在點(diǎn)(1，0)處切線(xiàn)經(jīng)過(guò)橢圓4x2＋my2＝4m的右焦點(diǎn)，則橢圓兩準(zhǔn)線(xiàn)間的距離為

A．6                                  B．8                       C．10                    D．18

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9．已知點(diǎn)F1、F2分別是雙曲線(xiàn)=1的左、右焦點(diǎn)，過(guò)F1且垂直于x軸的直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)交于A、B兩點(diǎn)，若A、B和雙曲線(xiàn)的一個(gè)頂點(diǎn)構(gòu)成的三角形為銳角三角形，則該雙曲線(xiàn)的離心率e的取值范圍是

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A．(1,1+)                    B．(1,)              C．(－1,1+)     D．(1,2) 

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        20080504
        

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        10．已知函數(shù)f (x)＝，若方程f (x)＝x＋a有且只有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是
        

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        A．                        B．                C．            D．
        

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        二、填空題：本大題共5小題，每小題5分，共25分。
        11．已知復(fù)數(shù)z1＝3－i，z2＝2i－1，是z的共軛復(fù)數(shù)，則復(fù)數(shù)的虛部等于_____。
        

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        12．一個(gè)半徑為1的球內(nèi)切于正三棱柱，則該正三棱柱的體積為_(kāi)_________。
        

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        13．已知x、y滿(mǎn)足條件( k為常數(shù))，若z＝x＋3y的最大值為8，則k＝__________。
        

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        14．在三角形ABC中，，M為BC邊的中點(diǎn)，則中線(xiàn)AM的長(zhǎng)為_(kāi)_________，△ABC的面積的最大值為_(kāi)_________。
        

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        15．在數(shù)列{an}中，都有( p為常數(shù))，則稱(chēng){an}為“等方差數(shù)列”。下列是對(duì)“等方差數(shù)列”的判斷：
        

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        ⑴數(shù)列{an}是等方差數(shù)列，則數(shù)列是等差數(shù)列；
        

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        ⑵數(shù)列是等方差數(shù)列；
        ⑶若數(shù)列{an}既是等方差數(shù)列，又是等差數(shù)列，則該數(shù)列必為常數(shù)列；
        ⑷若數(shù)列{an}是等方差數(shù)列，則數(shù)列{akn}( k為常數(shù)，k∈N*)也是等方差數(shù)列，則正確命題序號(hào)為_(kāi)_____。
        

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        三、解答題：
        16．已知向量，，且x∈[0，]；
        

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        ⑴求及；  ⑵若f (x)＝，求f (x)的最大值與最小值．
        

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        17．下面玩擲骰子放球游戲，若擲出1點(diǎn)或6點(diǎn)，甲盒放一球；若擲出2點(diǎn)，3點(diǎn)，4點(diǎn)或5點(diǎn)，乙盒放一球，設(shè)擲n次后，甲、乙盒內(nèi)的球數(shù)分別為x、y．
        ⑴當(dāng)n＝3時(shí)，設(shè)x＝3，y＝0的概率；
        

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        ⑵當(dāng)n＝4時(shí)，設(shè)，求ξ的分布列及數(shù)學(xué)期望Eξ．
        

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        18．（本小題滿(mǎn)分12分）四棱錐P－ABCD中，底面ABCD是邊長(zhǎng)為2的正方形，PB⊥BC，PD⊥CD，且PA=2，E點(diǎn)滿(mǎn)足．
        ⑴求證：PA⊥平面ABCD；  ⑵求二面角E－AC－D的大��；
        ⑶在線(xiàn)段BC上是否存在點(diǎn)F使得PF∥面EAC？若存在，確定F的位置；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由。
        

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        19．某種商品的成本為5元/件，開(kāi)始按8元/件銷(xiāo)售，銷(xiāo)售量為50件，為了獲取最大利潤(rùn)，商家先后采取了提價(jià)與降價(jià)兩種措施進(jìn)行試銷(xiāo)。經(jīng)試銷(xiāo)發(fā)現(xiàn)：銷(xiāo)售價(jià)每上漲1元每天銷(xiāo)售量就減少10件；而降價(jià)后，日銷(xiāo)售量Q (件)與實(shí)際銷(xiāo)售價(jià)x (元)滿(mǎn)足關(guān)系：
        

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        ⑴求總利潤(rùn)(利潤(rùn)＝銷(xiāo)售額－成本) y (元)與實(shí)際銷(xiāo)售價(jià)x (件)的函數(shù)關(guān)系式；
        ⑵試問(wèn)：當(dāng)實(shí)際銷(xiāo)售價(jià)為多少元時(shí)，總利潤(rùn)最大．
        

        試題詳情
        

        20．已知A(－1,0)、B(3,0)，M、N是圓O：x2＋y2＝1上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且M、N關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)，直線(xiàn)AM與BN交于P點(diǎn)．
        ⑴求P點(diǎn)的軌跡C的方程；
        

        試題詳情
        

        ⑵設(shè)動(dòng)直線(xiàn)l：y＝k(x＋)與曲線(xiàn)C交于S、T兩點(diǎn)．求證：無(wú)論k為何值時(shí)，以動(dòng)弦ST為直徑的圓總與定直線(xiàn)x＝－相切．
        

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        21．已知數(shù)列{an}滿(mǎn)足：，．
        

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        ⑴求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；   ⑵證明：；
        

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        ⑶設(shè)，且，證明：．
        湖北省八市2009年高三年級(jí)三月調(diào)考
        

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        一、選擇題
        1．B　　2．A　　3．C　　4．B　　5．B　　6．D　　7．C　　8．C　　9．D　　10．A
        二、填空題
        11．　　12．　　13．－6　　14．；　　15．①②③④
        三、解答題
        16．解：⑴＝＝＝
        ＝                                                                                                                  3分
        ＝＝1＋1＋2cos2x＝2＋2cos2x＝4cos2x
        ∵x∈[0，]　　∴cosx≥0
        ∴＝2cosx                                                                                                     6分
        ⑵ f (x)＝cos2x－?2cosx?sinx＝cos2x－sin2x
              ＝2cos(2x＋)                                                                                            8分
        ∵0≤x≤　　∴  ∴　　∴
        ∴，當(dāng)x＝時(shí)取得該最小值
        　，當(dāng)x＝0時(shí)取得該最大值                                                                    12分
        17．由題意知，在甲盒中放一球概率為時(shí)，在乙盒放一球的概率為                  2分
        ①當(dāng)n＝3時(shí)，x＝3，y＝0的概率為                                                 4分
        ②當(dāng)n＝4時(shí)，x＋y＝4，又|x－y|＝ξ，所以ξ的可能取值為0，2，4
        (i)當(dāng)ξ＝0時(shí)，有x＝2，y＝2，它的概率為                                      4分
        (ii)當(dāng)ξ＝2時(shí)，有x＝3，y＝1或x＝1，y＝3
           它的概率為
        (iii)當(dāng)ξ＝4時(shí)，有x＝4，y＝0或x＝0，y＝4
           它的概率為
        故ξ的分布列為
        ξ
        0
        2
        4
        10分 
        p
        ∴ξ的數(shù)學(xué)期望Eξ＝                                                             12分
        18．解：⑴證明：在正方形ABCD中，AB⊥BC
        又∵PB⊥BC  ∴BC⊥面PAB  ∴BC⊥PA
        同理CD⊥PA  ∴PA⊥面ABCD　　　　4分
        ⑵在A(yíng)D上取一點(diǎn)O使AO=AD，連接E，O，
        則EO∥PA，∴EO⊥面ABCD　過(guò)點(diǎn)O做
        OH⊥AC交AC于H點(diǎn)，連接EH，則EH⊥AC，
        從而∠EHO為二面角E－AC－D的平面角                                                             6分
        在△PAD中，EO＝AP＝在△AHO中∠HAO＝45°，
        ∴HO＝AOsin45°=，∴tan∠EHO＝，
        ∴二面角E－AC－D等于arctan                                                                    8分
        ⑶當(dāng)F為BC中點(diǎn)時(shí)，PF∥面EAC，理由如下：
        ∵AD∥2FC，∴，又由已知有，∴PF∥ES
        ∵PF面EAC，EC面EAC　　∴PF∥面EAC，
        即當(dāng)F為BC中點(diǎn)時(shí)，PF∥面EAC                                                                         12分
        19．⑴據(jù)題意，得                                                4分
                                                                                  5分
        ⑵由⑴得：當(dāng)5＜x＜7時(shí)，y＝39(2x3－39x2＋252x－535)
        當(dāng)5＜x＜6時(shí)，y'＞0，y＝f (x)為增函數(shù)
        當(dāng)6＜x＜7時(shí)，y'＜0，y＝f (x)為減函數(shù)
        ∴當(dāng)x＝6時(shí)，f (x)極大值＝f (16)＝195                                                                      8分
        當(dāng)7≤x＜8時(shí)，y＝6(33－x)∈(150，156]
        當(dāng)x≥8時(shí)，y＝－10(x－9)2＋160
        當(dāng)x＝9時(shí)，y極大＝160                                                                                           10分
        綜上知：當(dāng)x＝6時(shí)，總利潤(rùn)最大，最大值為195                                                     12分
        20．⑴設(shè)M(x0，y0)，則N(x0，－y0)，P(x，y)
        


        
 
        
  
  
        
   
        
    
    
        
    
        (x0≠－1且x0≠3)
        BN：y＝　　�、�
        聯(lián)立①②　　∴                                                                                        4分
        ∵點(diǎn)M(xo，yo)在圓⊙O上，代入圓的方程：
        整理：y2＝－2(x＋1)  (x＜－1)                                                                             6分
        ⑵由
        設(shè)S(x1、y1)，T(x2、y2)，ST的中點(diǎn)坐標(biāo)(x0、y0)
        則x1＋x2＝－(3＋)
        x1x2＝                                                                                                           8分
        ∴
        中點(diǎn)到直線(xiàn)的距離
        ∴
        故圓與x＝－總相切．                                                                                         13分
        ⑵另解：∵y2＝－2(x＋1)知焦點(diǎn)坐標(biāo)為(－，0)                                                   2分
        頂點(diǎn)(－1，0)，故準(zhǔn)線(xiàn)x＝－                                                                               4分
        設(shè)S、T到準(zhǔn)線(xiàn)的距離為d1，d2，ST的中點(diǎn)O'，O'到x＝－的距離為
        又由拋物線(xiàn)定義：d1＋d2＝|ST|，∴
        故以ST為直徑的圓與x＝－總相切                                                                      8分
        21．解：⑴由，得
        令，有
        ∴
            ＝
            ＝
        又b1＝2a1＝2，                                                                               3分
        ∴
        ∴                                                                                    4分
        ⑵證法1：(數(shù)學(xué)歸納法)
        1°，當(dāng)n＝1時(shí)，a1＝1，滿(mǎn)足不等式                                                    5分
        2°，假設(shè)n＝k(k≥1，k∈N*)時(shí)結(jié)論成立
        即，那么
        即                                                                                                       7分
        又
        由1°，2°可知，n∈N*，都有成立                                                           9分
        ⑵證法2：由⑴知：　　　　　　　　　　　　　　　　(可參照給分)
        ∵，，∴
        ∵  ∵
        ∴  ∴
        當(dāng)n＝1時(shí)，，綜上
        ⑵證法3：
        ∴{an}為遞減數(shù)列
        當(dāng)n＝1時(shí)，an取最大值　　∴an≤1
        由⑴中知　　
        綜上可知
        ⑶
        欲證：即證                                                                             11分
        即ln(1＋Tn)－Tn＜0，構(gòu)造函數(shù)f (x)＝ln(1＋x)－x
        ∵當(dāng)x＞0時(shí)，f ' (x)＜0
        ∴函數(shù)y＝f (x)在(0，＋∞)內(nèi)遞減
        ∴f (x)在[0，＋∞)內(nèi)的最大值為f (0)＝0
        ∴當(dāng)x≥0時(shí)，ln(1＋x)－x≤0
        又∵Tn＞0，∴l(xiāng)n(1＋Tn)－Tn＜0
        ∴不等式成立                                                                                           14分