（12分）理數學興趣小組在探究如何求tan15°的值，經過思考、討論、交流，得到以下思路：

思路一 如圖1，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠ABC=30°，延長CB至點D，使BD=BA，連接AD．設AC=1，則BD=BA=2，BC=．tanD=tan15°===．

思路二 利用科普書上的和（差）角正切公式：tan（α±β）=．假設α=60°，β=45°代入差角正切公式：tan15°=tan（60°﹣45°）===．

思路三 在頂角為30°的等腰三角形中，作腰上的高也可以…

思路四 …

請解決下列問題（上述思路僅供參考）．

（1）類比：求出tan75°的值；

（2）應用：如圖2，某電視塔建在一座小山上，山高BC為30米，在地平面上有一點A，測得A，C兩點間距離為60米，從A測得電視塔的視角（∠CAD）為45°，求這座電視塔CD的高度；

（3）拓展：如圖3，直線與雙曲線交于A，B兩點，與y軸交于點C，將直線AB繞點C旋轉45°后，是否仍與雙曲線相交？若能，求出交點P的坐標；若不能，請說明理由．

數學學習總是如數學知識自身的生長歷史一樣，往往起源于猜測中的發(fā)現(xiàn)，我們所發(fā)現(xiàn)的不一定對，但是當利用我們已有的知識作為推理的前提論證之后，當所發(fā)現(xiàn)的在邏輯上沒有矛盾之后，就可以作為新的推理的前提，數學中稱之為定理．
（1）嘗試證明：
等腰三角形的探索中借助折紙發(fā)現(xiàn)：直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半．但是當時并未說明這個結論的合理．現(xiàn)在我們學些了矩形的判定和性質之后，就可以解決這個問題了．如圖1若在Rt△ABC中CD是斜邊AB的中線，則，你能用矩形的性質說明這個結論嗎？請說明．
（2）遷移運用：利用上述結論解決下列問題：
①如圖2所示，四邊形ABCD中，∠BAD=90°，∠DCB=90°，EF分別是BD、AC的中點，請你說明EF與AC的位置關系．
②如圖3所示，?ABCD中，以AC為斜邊作Rt△ACE，∠AEC=90°，且∠BED=90°，試說明平行四邊形ABCD是矩形．

閱讀下面材料：

（1）小喬遇到了這樣一個問題：如圖1，在Rt△ABC中，∠C=90°，D，E分別為CB，CA邊上的點，且AE=BC，BD=CE，BE與AD的交點為P，求∠APE的度數；

小喬發(fā)現(xiàn)題目中的條件分散，想通過平移變換將分散條件集中，如圖2，過點B作BF//AD且BF=AD，連接EF，AF，從而構造出△AEF與△CBE全等，經過推理和計算能夠使問題得到解決（如圖2）．請回答：∠APE的度數為___________________．

參考小喬同學思考問題的方法，解決問題：

（2）如圖3，AB為⊙O的直徑，點C在⊙O上，D、E分別為CB，CA上的點，且AE=BC，BD=CE，BE與AD交于點P，在圖3中畫出符合題意的圖形，并求出sin∠APE的值．

在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，BD是△ABC的角平分線， DE⊥AB于點E．

                                       
（1）如圖1，連接EC，求證：△EBC是等邊三角形；
（2）點M是線段CD上的一點（不與點C，D重合），以BM為一邊，在BM的下方作∠BMG=60°，MG交DE延長線于點G．請你在圖2中畫出完整圖形，并直接寫出MD，DG與AD之間的數量關系；
（3）如圖3,點N是線段AD上的一點，以BN為一邊，在BN的下方作∠BNG=60°，NG交DE延長線于點G，且MB=MG．試探究ND，DG與AD數量之間的關系，并說明理由．

在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，BD是△ABC的角平分線， DE⊥AB于點E．

（1）如圖1，連接EC，求證：△EBC是等邊三角形；

（2）點M是線段CD上的一點（不與點C，D重合），以BM為一邊，在BM的下方作∠BMG=60°，MG交DE延長線于點G．請你在圖2中畫出完整圖形，并直接寫出MD，DG與AD之間的數量關系；

（3）如圖3,點N是線段AD上的一點，以BN為一邊，在BN的下方作∠BNG=60°，NG交DE延長線于點G，且MB=MG．試探究ND，DG與AD數量之間的關系，并說明理由．

在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，BD是△ABC的角平分線，DE⊥AB于點E．
（1）如圖1，連接EC，求證：△EBC是等邊三角形；
（2）點M是線段CD上的一點（不與點C，D重合），以BM為一邊，在BM的下方作∠BMG=60°，MG交DE延長線于點G．請你在圖2中畫出完整圖形，并直接寫出MD，DG與AD之間的數量關系；
（3）如圖3，點N是線段AD上的一點，以BN為一邊，在BN的下方作∠BNG=60°，NG交DE延長線于點G．試探究ND，DG與AD數量之間的關系，并說明理由．

如下圖所示，在Rt△ABC中，∠C＝90℃，AB的垂直平分線DE交BC于D，交AB于點E．當∠B＝30°時，圖中不一定相等的線段有（    ）

  A．AC＝AE＝BE        B．AD＝BD            C．AC＝BD          D．CD＝DE

如下圖所示，在Rt△ABC中，∠C＝90℃，AB的垂直平分線DE交BC于D，交AB于點E．當∠B＝30°時，圖中不一定相等的線段有（    ）

  A．AC＝AE＝BE        B．AD＝BD            C．AC＝BD          D．CD＝DE

在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，BD是△ABC的角平分線， DE⊥AB于點E．

（1）如圖1，連接EC，求證：△EBC是等邊三角形；

（2）點M是線段CD上的一點（不與點C，D重合），以BM為一邊，在BM的下方作∠BMG=60°，MG交DE延長線于點G．請你在圖2中畫出完整圖形，并直接寫出MD，DG與AD之間的數量關系；

（3）如圖3,點N是線段AD上的一點，以BN為一邊，在BN的下方作∠BNG=60°，NG交DE延長線于點G．試探究ND，DG與AD數量之間的關系，并說明理由．

在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，BD是△ABC的角平分線， DE⊥AB于點E．

（1）如圖1，連接EC，求證：△EBC是等邊三角形；

（2）點M是線段CD上的一點（不與點C，D重合），以BM為一邊，在BM的下方作∠BMG=60°，MG交DE延長線于點G．請你在圖2中畫出完整圖形，并直接寫出MD，DG與AD之間的數量關系；

（3）如圖3,點N是線段AD上的一點，以BN為一邊，在BN的下方作∠BNG=60°，NG交DE延長線于點G．試探究ND，DG與AD數量之間的關系，并說明理由．

在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，BD是△ABC的角平分線，DE⊥AB于點E．

（1）如圖1，連接EC，求證：△EBC是等邊三角形；

（2）點M是線段CD上的一點（不與點C，D重合），以BM為一邊，在BM的下方作∠BMG=60°，MG交DE延長線于點G．請你在圖2中畫出完整圖形，并直接寫出MD，DG與AD之間的數量關系；

（3）如圖3，點N是線段AD上的一點，以BN為一邊，在BN的下方作∠BNG=60°，NG交DE延長線于點G．試探究ND，DG與AD數量之間的關系，并說明理由．

小明在學習三角形知識時，發(fā)現(xiàn)如下三個有趣的結論：在Rt△ABC中，∠A=90°，BD平分∠ABC，M為直線AC上一點，ME⊥BC，垂足為E，∠AME的平分線交直線AB于點F．
（1）如圖①，M為邊AC上一點，則BD、MF的位置關系是             ；
如圖②，M為邊AC反向延長線上一點，則BD、MF的位置關系是            ；
如圖③，M為邊AC延長線上一點，則BD、MF的位置關系是               ；
（2）請就圖①、圖②、或圖③中的一種情況，給出證明．
我選圖     來證明．

 

小明在學習三角形知識時，發(fā)現(xiàn)如下三個有趣的結論：在Rt△ABC中，∠A=90°，BD平分∠ABC，M為直線AC上一點，ME⊥BC，垂足為E，∠AME的平分線交直線AB于點F．

（1）如圖①，M為邊AC上一點，則BD、MF的位置關系是 ；

如圖②，M為邊AC反向延長線上一點，則BD、MF的位置關系是 ；

如圖③，M為邊AC延長線上一點，則BD、MF的位置關系是 ；

（2）請就圖①、圖②、或圖③中的一種情況，給出證明．

我選圖 來證明．

小明在學習三角形知識時，發(fā)現(xiàn)如下三個有趣的結論：在Rt△ABC中，∠A＝90°，BD平分∠ABC，M為直線AC上一點，ME⊥BC，垂足為E，∠AME的平分線交直線AB于點F．

（1）如圖①，M為邊AC上一點，則BD、MF的位置關系是              ；

如圖②，M為邊AC反向延長線上一點，則BD、MF的位置關系是             ；

如圖③，M為邊AC延長線上一點，則BD、MF的位置關系是                ；

（2）請就圖①、圖②、或圖③中的一種情況，給出證明.

     我選圖      來證明.