9．如圖所示，圖1是一個(gè)長(zhǎng)為2m，寬為2n的長(zhǎng)方形，沿圖中的虛線剪成四個(gè)全等的小長(zhǎng)方形，再按圖2圍成一個(gè)較大的正方形．

（1）圖2中的陰影部分的正方形的邊長(zhǎng)可表示為m-n；
（2）請(qǐng)用兩種不同的方法表示圖2中陰影部分的面積：
方法1：（m-n）²；
方法2：（m+n）²-4mn；
（3）觀察圖2，請(qǐng)你寫出下列三個(gè)代數(shù)式之間的等量關(guān)系：
代數(shù)式：（m+n）²，（m-n）²，mn．（m-n）²=（m+n）²-4mn；
（4）根據(jù)（3）題中的等量關(guān)系，解決問(wèn)題：
若m+n=5，mn=4，求m-n的值．

14．圖a是一個(gè)長(zhǎng)為2m、寬為2n的長(zhǎng)方形，沿圖中虛線用剪刀均勻分成四塊小長(zhǎng)方形，然后按圖b的形狀拼成一個(gè)正方形．
（1）你認(rèn)為圖b中的陰影部分的正方形的邊長(zhǎng)等于多少？m-n
（2）請(qǐng)用兩種不同的方法求圖b中陰影部分的面積．
方法1：邊長(zhǎng)為m+n的大正方形的面積減去長(zhǎng)為m，寬為n的4個(gè)長(zhǎng)方形面積，
即（m+n）²-4mn（只列式，不化簡(jiǎn)）
方法2：邊長(zhǎng)為m-n的正方形的面積，即（m-n）²（只列式，不化簡(jiǎn)）
（3）觀察圖b你能寫出下列三個(gè)代數(shù)式之間的等式關(guān)系嗎？
代數(shù)式：（m+n）²，（m-n）²，mn．（m+n）²=（m-n）²+4mn
（4）根據(jù)（2）題中的等量關(guān)系，解決如下問(wèn)題：
若a+b=8，ab=5．求（a-b）²．

如圖①所示是一個(gè)長(zhǎng)為2m，寬為2n的長(zhǎng)方形，沿圖中虛線用剪刀均分成四個(gè)小長(zhǎng)方形，然后按圖②的方式拼成一個(gè)正方形．

（1）圖②中的陰影部分的小正方形的邊長(zhǎng)______；大正方形的邊長(zhǎng)=______
（2）請(qǐng)用兩種不同的方法列代數(shù)式表示圖②中陰影部分的面積．
方法①______方法②______
（3）觀察圖②，請(qǐng)寫出（m+n）²，（m-n）²，mn這三個(gè)代數(shù)式之間的等量關(guān)系嗎？
（4）根據(jù)（3）題中的等量關(guān)系，解決如下問(wèn)題：若m+n=5，mn=4，則求（m-n）²．

如圖1，M，N分別表示邊長(zhǎng)為a的等邊三角形和正方形，P表示直徑為a的圓．圖2是選擇基本圖形M，P用尺規(guī)畫(huà)出的圖案．
（1）寫出圖2的陰影部分的面積；
（2）請(qǐng)你從圖1中任意選擇兩種基本圖形，按給定圖形的大小設(shè)計(jì)一個(gè)新圖案，要求新圖案既是軸對(duì)稱圖形，又是中心對(duì)稱圖．（尺規(guī)作圖，不寫作法，保留痕跡，作直角時(shí)可以使用三角板）．

如圖1所示，邊長(zhǎng)為a的大正方形中有一個(gè)邊長(zhǎng)為b的小正方形，如圖2是由圖1中陰影部分拼成的一個(gè)長(zhǎng)方形．
（1）請(qǐng)問(wèn)用這兩個(gè)圖可以驗(yàn)證公式法因式分解中的哪個(gè)公式？
（2）若圖1中的陰影部分的面積是12，a-b=3，求a+b的值；
（3）試?yán)眠@個(gè)公式計(jì)算：（2+1）（2²+1）（2⁴+1）（2⁸+1）（2¹⁶+1）（2³²+1）+1．

（改編）
如圖1，M，N分別表示邊長(zhǎng)為a的等邊三角形和正方形，P表示直徑為a的圓．圖2是選擇基本圖形M，P用尺規(guī)畫(huà)出的圖案．
（1）寫出圖2的陰影部分的面積；
（2）請(qǐng)你從圖1中任意選擇兩種基本圖形，按給定圖形的大小設(shè)計(jì)一個(gè)新圖案，要求新圖案既是軸對(duì)稱圖形，又是中心對(duì)稱圖．（尺規(guī)作圖，不寫作法，保留痕跡，作直角時(shí)可以使用三角板）．

（改編）
如圖1，M，N分別表示邊長(zhǎng)為a的等邊三角形和正方形，P表示直徑為a的圓．圖2是選擇基本圖形M，P用尺規(guī)畫(huà)出的圖案．
（1）寫出圖2的陰影部分的面積；
（2）請(qǐng)你從圖1中任意選擇兩種基本圖形，按給定圖形的大小設(shè)計(jì)一個(gè)新圖案，要求新圖案既是軸對(duì)稱圖形，又是中心對(duì)稱圖．（尺規(guī)作圖，不寫作法，保留痕跡，作直角時(shí)可以使用三角板）．

閱讀下列材料：
小明遇到一個(gè)問(wèn)題：2個(gè)同樣大小的正方形紙片排列形式如圖①所示，將它們分割后拼接成一個(gè)新的正方形．
他的作法是：沿對(duì)角線剪開(kāi)，按圖②所示的方法，即可拼接成一個(gè)新的正方形DENB．
（1）請(qǐng)你參考小明的作法解決下面問(wèn)題：
現(xiàn)有個(gè)邊長(zhǎng)分別為2，1的正方形紙片，排列形式如圖③所示．請(qǐng)將其分割后拼接成一個(gè)新的正方形．要求：在圖③，④中分別畫(huà)出兩個(gè)拼接成的新的正方形（說(shuō)明：只要是符合條件的正方形即可，但要求分割方法有所不同）

（2）求出拼接后正方形的面積；
（3）如圖⑤，點(diǎn)E、F、G、H是正方形ABCD各邊的中點(diǎn)，要使得中間陰影部分小正方形的面積是5，那么大正方形ABCD的邊長(zhǎng)應(yīng)該是多少？（直接寫出結(jié)果）．

閱讀下列材料：
小明遇到一個(gè)問(wèn)題：2個(gè)同樣大小的正方形紙片排列形式如圖①所示，將它們分割后拼接成一個(gè)新的正方形．
他的作法是：沿對(duì)角線剪開(kāi)，按圖②所示的方法，即可拼接成一個(gè)新的正方形DENB．
（1）請(qǐng)你參考小明的作法解決下面問(wèn)題：
現(xiàn)有個(gè)邊長(zhǎng)分別為2，1的正方形紙片，排列形式如圖③所示．請(qǐng)將其分割后拼接成一個(gè)新的正方形．要求：在圖③，④中分別畫(huà)出兩個(gè)拼接成的新的正方形（說(shuō)明：只要是符合條件的正方形即可，但要求分割方法有所不同）

（2）求出拼接后正方形的面積；
（3）如圖⑤，點(diǎn)E、F、G、H是正方形ABCD各邊的中點(diǎn)，要使得中間陰影部分小正方形的面積是5，那么大正方形ABCD的邊長(zhǎng)應(yīng)該是多少？（直接寫出結(jié)果）．

在前面的學(xué)習(xí)中，我們通過(guò)對(duì)同一面積的不同表達(dá)和比較，根據(jù)圖1和圖2發(fā)現(xiàn)并驗(yàn)證了平方差公式和完全平方公式．
這種利用面積關(guān)系解決問(wèn)題的方法，使抽象的數(shù)量關(guān)系因幾何直觀而形象化．

【研究速算】
提出問(wèn)題：47×43，56×54，79×71，…是一些十位數(shù)字相同，且個(gè)位數(shù)字之和是10的兩個(gè)兩位數(shù)相乘的算式，是否可以找到一種速算方法？
幾何建模：
用矩形的面積表示兩個(gè)正數(shù)的乘積，以47×43為例：
（1）畫(huà)長(zhǎng)為47，寬為43的矩形，如圖3，將這個(gè)47×43的矩形從右邊切下長(zhǎng)40，寬3的一條，拼接到原矩形上面．
（2）分析：原矩形面積可以有兩種不同的表達(dá)方式：47×43的矩形面積或（40+7+3）×40的矩形與右上角3×7的矩形面積之和，即47×43=（40+10）×40+3×7=5×4×100+3×7=2021．
用文字表述47×43的速算方法是：十位數(shù)字4加1的和與4相乘，再乘以100，加上個(gè)位數(shù)字3與7的積，構(gòu)成運(yùn)算結(jié)果．
歸納提煉：
兩個(gè)十位數(shù)字相同，并且個(gè)位數(shù)字之和是10的兩位數(shù)相乘的速算方法是（用文字表述）______．
【研究方程】
提出問(wèn)題：怎樣圖解一元二次方程x²+2x-35=0（x＞0）？
幾何建模：
（1）變形：x（x+2）=35．
（2）畫(huà)四個(gè)長(zhǎng)為x+2，寬為x的矩形，構(gòu)造圖4
（3）分析：圖中的大正方形面積可以有兩種不同的表達(dá)方式，（x+x+2）²或四個(gè)長(zhǎng)x+2，寬x的矩形面積之和，加上中間邊長(zhǎng)為2的小正方形面積．
即（x+x+2）²=4x（x+2）+2²
∵x（x+2）=35
∴（x+x+2）²=4×35+2²
∴（2x+2）²=144
∵x＞0
∴x=5
歸納提煉：求關(guān)于x的一元二次方程x（x+b）=c（x＞0，b＞0，c＞0）的解．
要求參照上述研究方法，畫(huà)出示意圖，并寫出幾何建模步驟（用鋼筆或圓珠筆畫(huà)圖，并注明相關(guān)線段的長(zhǎng)）
【研究不等關(guān)系】
提出問(wèn)題：怎樣運(yùn)用矩形面積表示（y+3）（y+2）與2y+5的大小關(guān)系（其中y＞0）？
幾何建模：
（1）畫(huà)長(zhǎng)y+3，寬y+2的矩形，按圖5方式分割
（2）變形：2y+5=（y+3）+（y+2）
（3）分析：圖5中大矩形的面積可以表示為（y+3）（y+2）；陰影部分面積可以表示為（y+3）×1，畫(huà)點(diǎn)部分部分的面積可表示為y+2，由圖形的部分與整體的關(guān)系可知（y+3）（y+2）＞（y+3）+（y+2），即（y+3）（y+2）＞2y+5
歸納提煉：
當(dāng)a＞2，b＞2時(shí)，表示ab與a+b的大小關(guān)系．
根據(jù)題意，設(shè)a=2+m，b=2+n（m＞0，n＞0），要求參照上述研究方法，畫(huà)出示意圖，并寫出幾何建模步驟（用鋼筆或圓珠筆畫(huà)圖并注明相關(guān)線段的長(zhǎng)）

在前面的學(xué)習(xí)中，我們通過(guò)對(duì)同一面積的不同表達(dá)和比較，根據(jù)圖1和圖2發(fā)現(xiàn)并驗(yàn)證了平方差公式和完全平方公式．
這種利用面積關(guān)系解決問(wèn)題的方法，使抽象的數(shù)量關(guān)系因幾何直觀而形象化．

【研究速算】
提出問(wèn)題：47×43，56×54，79×71，…是一些十位數(shù)字相同，且個(gè)位數(shù)字之和是10的兩個(gè)兩位數(shù)相乘的算式，是否可以找到一種速算方法？
幾何建模：
用矩形的面積表示兩個(gè)正數(shù)的乘積，以47×43為例：
（1）畫(huà)長(zhǎng)為47，寬為43的矩形，如圖3，將這個(gè)47×43的矩形從右邊切下長(zhǎng)40，寬3的一條，拼接到原矩形上面．
（2）分析：原矩形面積可以有兩種不同的表達(dá)方式：47×43的矩形面積或（40+7+3）×40的矩形與右上角3×7的矩形面積之和，即47×43=（40+10）×40+3×7=5×4×100+3×7=2021．
用文字表述47×43的速算方法是：十位數(shù)字4加1的和與4相乘，再乘以100，加上個(gè)位數(shù)字3與7的積，構(gòu)成運(yùn)算結(jié)果．
歸納提煉：
兩個(gè)十位數(shù)字相同，并且個(gè)位數(shù)字之和是10的兩位數(shù)相乘的速算方法是（用文字表述）______．
【研究方程】
提出問(wèn)題：怎樣圖解一元二次方程x²+2x-35=0（x＞0）？
幾何建模：
（1）變形：x（x+2）=35．
（2）畫(huà)四個(gè)長(zhǎng)為x+2，寬為x的矩形，構(gòu)造圖4
（3）分析：圖中的大正方形面積可以有兩種不同的表達(dá)方式，（x+x+2）²或四個(gè)長(zhǎng)x+2，寬x的矩形面積之和，加上中間邊長(zhǎng)為2的小正方形面積．
即（x+x+2）²=4x（x+2）+2²
∵x（x+2）=35
∴（x+x+2）²=4×35+2²
∴（2x+2）²=144
∵x＞0
∴x=5
歸納提煉：求關(guān)于x的一元二次方程x（x+b）=c（x＞0，b＞0，c＞0）的解．
要求參照上述研究方法，畫(huà)出示意圖，并寫出幾何建模步驟（用鋼筆或圓珠筆畫(huà)圖，并注明相關(guān)線段的長(zhǎng)）
【研究不等關(guān)系】
提出問(wèn)題：怎樣運(yùn)用矩形面積表示（y+3）（y+2）與2y+5的大小關(guān)系（其中y＞0）？
幾何建模：
（1）畫(huà)長(zhǎng)y+3，寬y+2的矩形，按圖5方式分割
（2）變形：2y+5=（y+3）+（y+2）
（3）分析：圖5中大矩形的面積可以表示為（y+3）（y+2）；陰影部分面積可以表示為（y+3）×1，畫(huà)點(diǎn)部分部分的面積可表示為y+2，由圖形的部分與整體的關(guān)系可知（y+3）（y+2）＞（y+3）+（y+2），即（y+3）（y+2）＞2y+5
歸納提煉：
當(dāng)a＞2，b＞2時(shí)，表示ab與a+b的大小關(guān)系．
根據(jù)題意，設(shè)a=2+m，b=2+n（m＞0，n＞0），要求參照上述研究方法，畫(huà)出示意圖，并寫出幾何建模步驟（用鋼筆或圓珠筆畫(huà)圖并注明相關(guān)線段的長(zhǎng)）

（9分）【問(wèn)題引入】

幾個(gè)人拎著水桶在一個(gè)水龍頭前面排隊(duì)打水，水桶有大有?。麄?cè)撛鯓优抨?duì)才能使得總的排隊(duì)時(shí)間最短？

假設(shè)只有兩個(gè)人時(shí)，設(shè)大桶接滿水需要T分鐘，小桶接滿水需要t分鐘（顯然T＞t），若拎著大桶者在拎小桶者之前，則拎大桶者可直接接水，只需等候T分鐘，拎小桶者一共等候了（T+t）分鐘，兩人一共等候了（2T+t）分鐘；反之，若拎小桶者在拎大桶者之前，容易求出兩人接滿水等候（T+2t）分鐘。可見(jiàn)，要使總的排隊(duì)時(shí)間最短。拎小桶者應(yīng)排在拎大桶者前面。這樣，我們可以猜測(cè)，幾個(gè)人拎著水桶在一個(gè)水龍頭前面排隊(duì)打水，要使總的排隊(duì)時(shí)間最短，需將他們按水桶從小到大排隊(duì)．

規(guī)律總結(jié)：

事實(shí)上，只要不按照從小到大的順序排隊(duì)，就至少有緊挨著的兩個(gè)人拎大桶者排在拎小桶者之前，仍設(shè)大桶接滿水需要T分鐘，小桶接滿水需t分鐘，并設(shè)拎大桶者開(kāi)始接水時(shí)已經(jīng)等候了m分鐘，這樣拎大桶者接滿水一共等候了（m+T）分鐘，拎小桶者接滿水一共等候了（m+T+t）分鐘，兩人共等候了（2m+2T+t）分鐘，在其他人位置不變的前提下，讓這兩個(gè)人交換位置，即局部調(diào)整這兩個(gè)人的位置，同樣可以計(jì)算兩個(gè)人接滿水共等候了 __ ___分鐘，共節(jié)省了 _________分鐘，而其他人的等候時(shí)間未變。這說(shuō)明只要存在有緊挨著的兩個(gè)人是拎大桶者在拎小桶者前，都可以這樣局部調(diào)整，從而使得總等候時(shí)間減少。這樣經(jīng)過(guò)一系列調(diào)整之后，整個(gè)隊(duì)伍都是從小到大排列，就達(dá)到最優(yōu)狀態(tài)，總的排隊(duì)時(shí)間就最短．

【方法探究】

一般地，對(duì)某些涉及多個(gè)可變對(duì)象的數(shù)學(xué)問(wèn)題，先對(duì)其少數(shù)對(duì)象進(jìn)行調(diào)整，其他對(duì)象暫時(shí)保持不變，從而化難為易，取得問(wèn)題的局部解決．經(jīng)過(guò)若干次這種局部的調(diào)整，不斷縮小范圍，逐步逼近目標(biāo)，最終使問(wèn)題得到解決，這種數(shù)學(xué)思想方法就叫做局部調(diào)整法．

【實(shí)踐應(yīng)用1】

如圖1，在銳角△ABC中，AB=4，∠BAC=45°，∠BAC的平分線交BC于點(diǎn)D，M、N分別是AD和AB上的動(dòng)點(diǎn)，則BM＋MN的最小值是多少？

解析：（1）先假定N為定點(diǎn)，調(diào)整M到合適位置，使BM＋MN有最小值（相對(duì)的）．

容易想到，在AC上作AN′=AN（即作點(diǎn)N關(guān)于AD的對(duì)稱點(diǎn)N′），連接BN′交AD于M，則M點(diǎn)是使BM＋MN有相對(duì)最小值的點(diǎn)．（如圖2，M點(diǎn)確定方法找到）

（2）再考慮點(diǎn)N的位置，使BM＋MN最終達(dá)到最小值．

可以理解，BM＋MN = BM＋MN′，所以要使BM＋MN′有最小值，只需使 ，此時(shí)BM＋MN的最小值為 ．

【實(shí)踐應(yīng)用2】

如圖，把邊長(zhǎng)是3的正方形等分成9個(gè)小正方形，在有陰影的兩個(gè)小正方形內(nèi)（包括邊界）分別任取點(diǎn)P、R，與已知格點(diǎn)Q（每個(gè)小正方形的頂點(diǎn)叫做格點(diǎn)）構(gòu)成三角形，求△PQR的最大面積，并在圖2中畫(huà)出面積最大時(shí)的△PQR的圖形．