19．如圖，已知Rt△ABC中，∠B=90°，且AB=2BC，請?jiān)趫D中按如下要求進(jìn)行操作和證明：
（1）用圓規(guī)在CA上截取CD=CB，保留痕跡，標(biāo)注點(diǎn)D；再以點(diǎn)A為圓心，AD為半徑畫弧交AB于點(diǎn)P，保留痕跡，標(biāo)注點(diǎn)P；
（2）證明點(diǎn)P是線段AB的黃金分割點(diǎn)．

閱讀下面材料，按要求完成后面作業(yè).

　　三角形內(nèi)角平分線性質(zhì)定理：三角形內(nèi)角平分線分對邊所得的兩條線段和這個(gè)角的兩邊對應(yīng)成比例.

已知：△ABC中，AD是角平分線(如圖).

求證：＝_.

　　分析：要證＝，一般只要證BD、DC與AB、AC或BD、AB與DC、AC所在的三角形相似，現(xiàn)在B、D、C在一條直線，△ABD與△ADC不相似，需要考慮用別的方法換比.

在比例式＝中，AC恰好是BD、DC、AB的第四比例項(xiàng)，所以考慮過C作CE∥AD交BA的延長線于E，從而得到BD、DC、AB的第四比例項(xiàng)AE，這樣，證明＝，就可轉(zhuǎn)化證＝_.

　　1.完成證明過程：

證明：

　　2.上述證明過程中，用到了哪些定理(寫對兩個(gè)即可)

　　答：用了:①

　　        ②

　　3.在上述分析和你的證明過程中，主要用到了下列三種數(shù)學(xué)思想的哪一種，①數(shù)形結(jié)合思想  ②轉(zhuǎn)化思想  ③分類討論思想

　　答：

　　4.用三角形內(nèi)角平分線定理解答問題：

　　如圖，△ABC中，AD是角平分線，AB＝5cm，AC＝4cm，BD＝7cm，求BD之長.

如圖，過△ABC的頂點(diǎn)A作AE⊥BC，垂足為E．點(diǎn)D是射線AE上一動點(diǎn)（點(diǎn)D不與頂點(diǎn)A重合），連接DB、DC．已知BC=m，AD=n
（1）若動點(diǎn)D在BC的下方時(shí)（如圖①），求S_{四邊形ABDC}的值（結(jié)果用含m、n的代數(shù)式表示）；
（2）若動點(diǎn)D在BC的上方時(shí)（如圖②），（1）中結(jié)論是否仍成立？說明理由；
（3）請你按以下要求在8×6的方格中（如圖③，每一個(gè)小正方形的邊長為1），設(shè)計(jì)一個(gè)軸對稱圖形．設(shè)計(jì)要求如下：對角線互相垂直且面積為6的格點(diǎn)四邊形（4個(gè)頂點(diǎn)都在格點(diǎn)上）．

如圖，已知△ABC，按下列要求作圖：
（1）在網(wǎng)格中作出△ABC經(jīng)平移后的像，使點(diǎn)B的像是點(diǎn)B′；
（2）用直尺和圓規(guī)在△ABC中作出∠A的平分線AD（保留作圖痕跡，不要求寫作法）．

如圖，已知，在Rt△ABC中，∠BAC=90°．

實(shí)踐與操作：

（1）①利用尺規(guī)按下列要求作圖，并在圖中標(biāo)明相應(yīng)的字母（保留作圖痕跡，不寫作法）：作線段AC的垂直平分線MN，垂足為O；

②連接BO，并延長BO到點(diǎn)D，使得OD=BO，連接AD、CD；

③分別在OA、OC的延長線上取點(diǎn)E、F，使AE=CF，連接BF、FD、DE、EB．

推理與運(yùn)用：

（2）①求證：四邊形BFDE是平行四邊形；

②若AB=4，AC=6，求當(dāng)AE的長為多少時(shí)，四邊形BFDE是矩形．

11．已知：如圖，Rt△ABC中，∠BAC=90°．
（1）按要求作出圖形：
①延長BC到點(diǎn)D，使CD=BC；
②延長CA到點(diǎn)E，使AE=2CA；
③連接AD，BE．
（2）猜想（1）中線段AD與BE的大小關(guān)系，并證明你的結(jié)論．
解：（1）完成作圖
（2）AD與BE的大小關(guān)系是AD=BE．

2．如圖所示，已知AD是△ABC的中線，按要求作圖并回答問題：
（1）畫出△ABC關(guān)于點(diǎn)D的對稱三角形：（不要求寫畫法）；
（2）根據(jù)你所畫出的圖形，試說明AD＜$\frac{1}{2}$（AB+AC）．

7．如圖，已知△ABC．
（1）實(shí)踐與操作：
利用尺規(guī)按下列要求作圖，并在圖中標(biāo)明相應(yīng)的字母（保留作圖痕跡，不寫作法）
①作BC邊上的高AD；
②作△ABC的角平分線BE； 
（2）綜合與運(yùn)用；
若△ABC中，AB=AC且∠CAB=36°，
請根據(jù)作圖和已知寫出符合括號內(nèi)要求的正確結(jié)論；
結(jié)論1：∠ABE=∠CBE=∠CAB=36°，∠BAD=∠CAD；（關(guān)于角）
結(jié)論2：BD=DC，AE=BE，BC=BE；（關(guān)于線段）
結(jié)論3：△ABE，△BCE都是等腰三角形．（關(guān)于三角形）

5．已知Rt△ABC，AB=AC，∠BAC=90°，點(diǎn)D為直線BC上的一動點(diǎn)（點(diǎn)D不與B、C重合），以AD為邊作Rt△ADE（其中AD=AE，∠DAE=90°A、D、E按逆時(shí)針排列），連接CE．
（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)D在邊BC上時(shí)，
①請寫出BD和CE之間存在數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系，并說明理由；
②$\sqrt{2}$AC=CE+CD的關(guān)系是否成立，并說明理由；
（2）如圖2，當(dāng)點(diǎn)D在邊BC的延長線上且其他條件不變時(shí)，（1）中AC、CE、CD之間存在的數(shù)量關(guān)系是否成立？若不成立，請直接寫出AC、CE、CD之間存在的數(shù)量關(guān)系，不證明．
（3）如圖3，當(dāng)點(diǎn)D在邊CB的延長線上且其他條件不變時(shí)，補(bǔ)全圖形（要求：尺規(guī)作圖，不寫作法，保留作圖痕跡），并直接寫出AC、CE、CD之間存在的數(shù)量關(guān)系，不證明．

（1）尺規(guī)作圖．

要求：寫出作法（用詞準(zhǔn)確精煉）；保留作圖痕跡（圖形清晰，規(guī)范），已知：如圖△ABC．
求作：△ABC的內(nèi)角平分線AD．
作法：
（2）如圖2，在直角坐標(biāo)系中，第一次將△OAB變換成△OA₁B₁，第二次將△OA₁B₁變換成△OA₂B₂，-----依此類推．已知A（1，3），A₁（2，3），A₂（4，3），A₃（8，3），…；B（2，0），B₁（4，0），B₂（8，0），B₃（16，0），…．
①觀察每次變換三角形的頂點(diǎn)變化規(guī)律，按此變換規(guī)律，經(jīng)過______次變換后，A、B的對應(yīng)點(diǎn)坐標(biāo)分別為（64，3）、（128，0）．
②若按第①小題找到的規(guī)律將△OAB進(jìn)行了n次變換，得到△OA_nB_n，推測A_n的坐標(biāo)是______，B_n的坐標(biāo)是______．

【問題引入】
幾個(gè)人拎著水桶在一個(gè)水龍頭前面排隊(duì)打水，水桶有大有?。麄冊撛鯓优抨?duì)才能使得總的排隊(duì)時(shí)間最短？
假設(shè)只有兩個(gè)人時(shí)，設(shè)大桶接滿水需要T分鐘，小桶接滿水需要t分鐘（顯然T＞t），若拎著大桶者在拎著小桶者之前，則拎大桶者可直接接水，只需等候T分鐘，拎小桶者一共等候了（T+t）分鐘，兩人一共等候了（2T+t）分鐘；反之，若拎小桶者在拎大桶者前面，容易求出出兩人接滿水等候（T+2t）分鐘．可見，要使總的排隊(duì)時(shí)間最短，拎小桶者應(yīng)排在拎大桶者前面．這樣，我們可以猜測，幾個(gè)人拎著水桶在一個(gè)水龍頭前面排隊(duì)打水，要使總的排隊(duì)時(shí)間最短，需將他們按水桶從小到大排隊(duì)．
規(guī)律總結(jié)：
事實(shí)上，只要不按從小到大的順序排隊(duì)，就至少有緊挨著的兩個(gè)人拎著大桶者排在拎小桶者之前，仍設(shè)大桶接滿水需要T分鐘，小桶接滿水需要t分鐘，并設(shè)拎大桶者開始接水時(shí)已等候了m分鐘，這樣拎大桶者接滿水一共等候了（m+T）分鐘，拎小桶者一共等候了（m+T+t）分鐘，兩人一共等候了（2m+2T+t）分鐘，在其他人位置不變的前提下，讓這兩個(gè)人交還位置，即局部調(diào)整這兩個(gè)人的位置，同樣介意計(jì)算兩個(gè)人接滿水共等候了______分鐘，共節(jié)省了______分鐘，而其他人等候的時(shí)間未變，這說明只要存在有緊挨著的兩個(gè)人是拎大桶者在拎小桶者之前都可以這樣調(diào)整，從而使得總等候時(shí)間減少．這樣經(jīng)過一系列調(diào)整后，整個(gè)隊(duì)伍都是從小打到排列，就打到最優(yōu)狀態(tài)，總的排隊(duì)時(shí)間就最短．
【方法探究】
一般的，對某些設(shè)計(jì)多個(gè)可變對象的數(shù)學(xué)問題，先對其少數(shù)對象進(jìn)行調(diào)整，其他對象暫時(shí)保持不變，從而化難為易，取得問題的局部解決．經(jīng)過若干次這種局部的調(diào)整，不斷縮小范圍，逐步逼近目標(biāo)，最終使問題得到解決，這種數(shù)學(xué)思想就叫做局部調(diào)整法．
【實(shí)踐應(yīng)用1】
如圖1在銳角△ABC中，AB=，∠BAC=45°，∠BAC的平分線交BC于點(diǎn)D，M、N分別是AD和AB上的動點(diǎn)，則BM+MN的最小值是多少？
解析：
（1）先假定N為定點(diǎn)，調(diào)整M到合適的位置使BM+MN有最小值（相對的），容易想到，在AC上作AN′=AN（即作點(diǎn)N關(guān)于AD的對稱點(diǎn)N'），連接BN′交AD于M，則M點(diǎn)是使BM+MN有相對最小值的點(diǎn)．（如圖2，M點(diǎn)是確定方法找到的）
（2）在考慮點(diǎn)N的位置，使BM+MN最終達(dá)到最小值．可以理解，BM+MN=BM+MN′，所以要使BM+MN′有最小值，只需使______，此時(shí)BM+MN的最小值是______．
【實(shí)踐應(yīng)用2】
如圖3，把邊長是3的正方形等分成9個(gè)小正方形，在有陰影的小正方形內(nèi)（包括邊界）分別取點(diǎn)P、R，于已知格點(diǎn)Q（每個(gè)小正方形的頂點(diǎn)叫做格點(diǎn)）構(gòu)成三角形，則△PQR的最大面積是______，請?jiān)趫D4中畫出面積最大時(shí)的△PQR的圖形．

（9分）【問題引入】

幾個(gè)人拎著水桶在一個(gè)水龍頭前面排隊(duì)打水，水桶有大有?。麄冊撛鯓优抨?duì)才能使得總的排隊(duì)時(shí)間最短？

假設(shè)只有兩個(gè)人時(shí)，設(shè)大桶接滿水需要T分鐘，小桶接滿水需要t分鐘（顯然T＞t），若拎著大桶者在拎小桶者之前，則拎大桶者可直接接水，只需等候T分鐘，拎小桶者一共等候了（T+t）分鐘，兩人一共等候了（2T+t）分鐘；反之，若拎小桶者在拎大桶者之前，容易求出兩人接滿水等候（T+2t）分鐘?？梢?，要使總的排隊(duì)時(shí)間最短。拎小桶者應(yīng)排在拎大桶者前面。這樣，我們可以猜測，幾個(gè)人拎著水桶在一個(gè)水龍頭前面排隊(duì)打水，要使總的排隊(duì)時(shí)間最短，需將他們按水桶從小到大排隊(duì)．

規(guī)律總結(jié)：

事實(shí)上，只要不按照從小到大的順序排隊(duì)，就至少有緊挨著的兩個(gè)人拎大桶者排在拎小桶者之前，仍設(shè)大桶接滿水需要T分鐘，小桶接滿水需t分鐘，并設(shè)拎大桶者開始接水時(shí)已經(jīng)等候了m分鐘，這樣拎大桶者接滿水一共等候了（m+T）分鐘，拎小桶者接滿水一共等候了（m+T+t）分鐘，兩人共等候了（2m+2T+t）分鐘，在其他人位置不變的前提下，讓這兩個(gè)人交換位置，即局部調(diào)整這兩個(gè)人的位置，同樣可以計(jì)算兩個(gè)人接滿水共等候了 __ ___分鐘，共節(jié)省了 _________分鐘，而其他人的等候時(shí)間未變。這說明只要存在有緊挨著的兩個(gè)人是拎大桶者在拎小桶者前，都可以這樣局部調(diào)整，從而使得總等候時(shí)間減少。這樣經(jīng)過一系列調(diào)整之后，整個(gè)隊(duì)伍都是從小到大排列，就達(dá)到最優(yōu)狀態(tài)，總的排隊(duì)時(shí)間就最短．

【方法探究】

一般地，對某些涉及多個(gè)可變對象的數(shù)學(xué)問題，先對其少數(shù)對象進(jìn)行調(diào)整，其他對象暫時(shí)保持不變，從而化難為易，取得問題的局部解決．經(jīng)過若干次這種局部的調(diào)整，不斷縮小范圍，逐步逼近目標(biāo)，最終使問題得到解決，這種數(shù)學(xué)思想方法就叫做局部調(diào)整法．

【實(shí)踐應(yīng)用1】

如圖1，在銳角△ABC中，AB=4，∠BAC=45°，∠BAC的平分線交BC于點(diǎn)D，M、N分別是AD和AB上的動點(diǎn)，則BM＋MN的最小值是多少？

解析：（1）先假定N為定點(diǎn)，調(diào)整M到合適位置，使BM＋MN有最小值（相對的）．

容易想到，在AC上作AN′=AN（即作點(diǎn)N關(guān)于AD的對稱點(diǎn)N′），連接BN′交AD于M，則M點(diǎn)是使BM＋MN有相對最小值的點(diǎn)．（如圖2，M點(diǎn)確定方法找到）

（2）再考慮點(diǎn)N的位置，使BM＋MN最終達(dá)到最小值．

可以理解，BM＋MN = BM＋MN′，所以要使BM＋MN′有最小值，只需使 ，此時(shí)BM＋MN的最小值為 ．

【實(shí)踐應(yīng)用2】

如圖，把邊長是3的正方形等分成9個(gè)小正方形，在有陰影的兩個(gè)小正方形內(nèi)（包括邊界）分別任取點(diǎn)P、R，與已知格點(diǎn)Q（每個(gè)小正方形的頂點(diǎn)叫做格點(diǎn)）構(gòu)成三角形，求△PQR的最大面積，并在圖2中畫出面積最大時(shí)的△PQR的圖形．