Question

5．已知Rt△ABC，AB=AC，∠BAC=90°，點D為直線BC上的一動點（點D不與B、C重合），以AD為邊作Rt△ADE（其中AD=AE，∠DAE=90°A、D、E按逆時針排列），連接CE．
（1）如圖1，當點D在邊BC上時，
①請寫出BD和CE之間存在數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系，并說明理由；
②$\sqrt{2}$AC=CE+CD的關(guān)系是否成立，并說明理由；
（2）如圖2，當點D在邊BC的延長線上且其他條件不變時，（1）中AC、CE、CD之間存在的數(shù)量關(guān)系是否成立？若不成立，請直接寫出AC、CE、CD之間存在的數(shù)量關(guān)系，不證明．
（3）如圖3，當點D在邊CB的延長線上且其他條件不變時，補全圖形（要求：尺規(guī)作圖，不寫作法，保留作圖痕跡），并直接寫出AC、CE、CD之間存在的數(shù)量關(guān)系，不證明．

Answer 1

分析 （1）①根據(jù)AB=AC，∠BAC=90°，AD=AE，∠DAE=90°，證△BAD≌△CAF，推出CE=BD，CE⊥BD即可；
②由△ABC是等腰直角三角形，得到∠ABC=∠ACB=45°，即可得出結(jié)論；
（2）求出∠BAD=∠CAE，根據(jù)SAS證△BAD≌△CAE，推出BD=CE即可；
（3）畫出圖形后，根據(jù)SAS證△BAD≌△CAE，推出CE=BD即可．

解答 （1）證明：①∵AB=AC，∠BAC=90°，
∴∠ABC=∠ACB=45°，
∵AD=AE，∠DAE=90°，
∴∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC
即∠BAD=∠CAE，
在△ABD與△ACE中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=AC}\\{∠BAD=∠CAE}\\{AD=AF}\end{array}\right.$，
∴△ABD≌△ACE，
∴BD=CE，∠ABC=∠ACE=45°，
∴∠ECB=90°，
∴BD⊥CE；
②由①得BD=CE，
∴BC=$\sqrt{2}$AC，
∵BC=BD+CD=CE+CD，
∴$\sqrt{2}$AC=CE+CD；

（2）解：存在數(shù)量關(guān)系為：CE=$\sqrt{2}$AC+CD；
理由：由（1）同理可得
在△ABD與△ACE中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=AC}\\{∠BAD=∠CAE}\\{AD=AF}\end{array}\right.$，
∴△ABD≌△ACE，
∴BD=CE，
∴BD=CE，
在等腰直角三角形ABC中，
BC=$\sqrt{2}$AC，
∴BD=BC+CD=$\sqrt{2}$C+CD，
∴CE=$\sqrt{2}$AC+CD；

（3）如圖所示：CD=$\sqrt{2}$AC+CE；
理由：由（1）同理
在△ABD與△ACE中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=AC}\\{∠BAD=∠CAE}\\{AD=AF}\end{array}\right.$，
∴△ABD≌△ACE，
∴BD=CE，
∴BD=CE，
在等腰直角三角形ABC中，
BC=$\sqrt{2}$AC，
∴CD=BC+BD=$\sqrt{2}$AC+CE．

點評 本題考查了全等三角形的性質(zhì)和判定，等腰直角三角形的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)的應(yīng)用，主要考查學(xué)生的推理能力，注意：證明過程類似，題目具有一定的代表性，難度適中．