題目列表(包括答案和解析)
已知函數(shù)
定義域為R，且
，對任意
恒有
，
（1）求函數(shù)
的表達(dá)式；
（2）若方程=
有三個實數(shù)解，求實數(shù)的取值范圍；
【解析】第一問中，利用因為，對任意恒有，
第二問中，因為方程=
有三個實數(shù)解，所以
又因為
當(dāng)
；
當(dāng)
從而得到范圍。
解：（1）因為，對任意恒有，
（2）因為方程=有三個實數(shù)解，所以
又因為，當(dāng)；
當(dāng)；當(dāng)
，
已知
，且
．
（1）求
的值；
（2）求
的值．
【解析】本試題主要考查了二項式定理的運用，以及系數(shù)求和的賦值思想的運用。第一問中，因為
，所以
，可得
，第二問中，因為
，所以
，所以
，利用組合數(shù)性質(zhì)可知。
解：（1）因為，所以， ……3分
化簡可得
，且
，解得． …………6分
（2），所以，
所以，
已知曲線C:
(m∈R)
（1） 若曲線C是焦點在x軸點上的橢圓，求m的取值范圍；
（2） 設(shè)m=4，曲線c與y軸的交點為A，B（點A位于點B的上方），直線y=kx+4與曲線c交于不同的兩點M、N,直線y=1與直線BM交于點G.求證：A，G，N三點共線。
【解析】（1）曲線C是焦點在x軸上的橢圓，當(dāng)且僅當(dāng)
解得
，所以m的取值范圍是
(2)當(dāng)m=4時，曲線C的方程為
，點A,B的坐標(biāo)分別為
，
由
，得
因為直線與曲線C交于不同的兩點，所以
即
設(shè)點M，N的坐標(biāo)分別為
，則
直線BM的方程為
，點G的坐標(biāo)為
因為直線AN和直線AG的斜率分別為
所以
即
,故A，G，N三點共線。
已知中心在原點，焦點在
軸上的橢圓
的離心率為
，且經(jīng)過點
.
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）是否存過點
（2,1）的直線
與橢圓相交于不同的兩點
，滿足
？若存在，求出直線的方程；若不存在，請說明理由．
【解析】第一問利用設(shè)橢圓的方程為
，由題意得
解得
第二問若存在直線滿足條件的方程為
，代入橢圓的方程得
．
因為直線與橢圓相交于不同的兩點，設(shè)兩點的坐標(biāo)分別為
，
所以
所以
．解得。
解：⑴設(shè)橢圓的方程為，由題意得
解得，故橢圓的方程為
．……………………4分
⑵若存在直線滿足條件的方程為，代入橢圓的方程得
．
因為直線與橢圓相交于不同的兩點，設(shè)兩點的坐標(biāo)分別為，
所以
所以．
又
，
因為，即
，
所以
．
即
．
所以
，解得
．
因為A,B為不同的兩點，所以k=1/2．
于是存在直線L1滿足條件，其方程為y=1/2x
設(shè)橢圓 
：
（
）的一個頂點為
，
，
分別是橢圓的左、右焦點，離心率
，過橢圓右焦點
的直線 
與橢圓 
交于
，
兩點．
（1）求橢圓的方程；
（2）是否存在直線 ，使得
，若存在，求出直線
的方程；若不存在，說明理由；
【解析】本試題主要考查了橢圓的方程的求解，以及直線與橢圓的位置關(guān)系的運用。（1）中橢圓的頂點為
，即
又因為
，得到
，然后求解得到橢圓方程（2）中，對直線分為兩種情況討論，當(dāng)直線斜率存在時，當(dāng)直線斜率不存在時，聯(lián)立方程組，結(jié)合得到結(jié)論。
解：（1）橢圓的頂點為，即
，解得，
橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為
--------4分
（2）由題可知,直線與橢圓必相交.
①當(dāng)直線斜率不存在時，經(jīng)檢驗不合題意． --------5分
②當(dāng)直線斜率存在時，設(shè)存在直線為
，且
，
.
由
得
， ----------7分
，
，
=
所以
，
----------10分
故直線的方程為
或
即
或
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