題目列表(包括答案和解析)
設橢圓
（常數
）的左右焦點分別為
，
是直線
上的兩個動點，
．
（1）若
，求
的值；
（2）求
的最小值．
【解析】第一問中解：設
，
則
由得
由，得
②
第二問易求橢圓
的標準方程為：
，
所以，當且僅當
或
時，取最小值
．
解：設， ……………………1分
則，由得 ①……2分
（1）由，得 ② ……………1分
③ ………………………1分
由①、②、③三式，消去
，并求得
．
………………………3分
（2）解法一：易求橢圓的標準方程為：．………………2分
， ……4分
所以，當且僅當或時，取最小值．…2分
解法二：
，
………………4分
所以，當且僅當或時，取最小值
已知數列
滿足
（I）求數列的通項公式；
（II）若數列
中
，前
項和為
，且
證明：
【解析】第一問中，利用
，
∴數列{
}是以首項a1+1，公比為2的等比數列，即
第二問中，
進一步得到得
即
即
是等差數列.
然后結合公式求解。
解：（I） 解法二、，
∴數列{}是以首項a1+1，公比為2的等比數列，即
（II） ………②
由②可得：
…………③
③－②，得 即 …………④
又由④可得
…………⑤
⑤－④得
即
是等差數列.
如圖，在四棱錐P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，AC⊥AD，AB⊥BC，∠BAC=45°，PA=AD=2，AC=1.
（Ⅰ）證明PC⊥AD；
（Ⅱ）求二面角A-PC-D的正弦值；
（Ⅲ）設E為棱PA上的點，滿足異面直線BE與CD所成的角為30°，求AE的長.
【解析】解法一：如圖，以點A為原點建立空間直角坐標系，依題意得A(0,0,0)，D(2,0,0),C(0,1,0), 
,P（0,0,2）.
（1）證明：易得
，
于是
,所以
(2) ,
設平面PCD的法向量
，
則
,即
.不防設
，可得
.可取平面PAC的法向量
于是
從而
.
所以二面角A-PC-D的正弦值為
.
（3）設點E的坐標為（0,0，h），其中
，由此得
.
由，故
所以，
，解得
，即
.
解法二：（1）證明：由
，可得
，又由
,
,故
.又
,所以.
(2)如圖，作
于點H，連接DH.由,
,可得
.
因此
,從而
為二面角A-PC-D的平面角.在
中，
,由此得
由（1）知
,故在
中，
因此
所以二面角
的正弦值為.
（3）如圖，因為
，故過點B作CD的平行線必與線段AD相交，設交點為F，連接BE，EF. 故
或其補角為異面直線BE與CD所成的角.由于BF∥CD，故
.在
中，
故
在
中，由
,
,
可得
.由余弦定理，
,
所以.
已知向量
（
），向量
，
，
且
.
（Ⅰ）求向量
；
（Ⅱ）若
，
，求
.
【解析】本試題主要考查了向量的數量積的運算，以及兩角和差的三角函數關系式的運用。
（1）問中∵，∴
，…………………1分
∵
，得到三角關系是
，結合
，解得。
（2）由，解得
，
，結合二倍角公式
，和
,代入到兩角和的三角函數關系式中就可以求解得到。
解析一：（Ⅰ）∵，∴，…………1分
∵，∴
，即 ① …………2分
又 ② 由①②聯立方程解得，
，
5分
∴
……………6分
（Ⅱ）∵即，， …………7分
∴，
………8分
又∵， ………9分
， ……10分
∴
．
解法二: (Ⅰ)
，…………………………………1分
又
，∴
，即
，①……2分
又 ②
將①代入②中，可得
③ …………………4分
將③代入①中，得
……………………………………5分
∴
…………………………………6分
(Ⅱ) 方法一
∵
,，∴
，且
……7分
∴
，從而
. …………………8分
由(Ⅰ)知
，
； ………………9分
∴
. ………………………………10分
又∵
，∴
，
又，∴
……11分
綜上可得 
………………………………12分
方法二∵,，∴，且…………7分
∴.
……………8分
由(Ⅰ)知
，
.
…………9分
∴
……………10分
∵，且注意到
，
∴
，又，∴
………………………11分
綜上可得 …………………12分
（若用
，又∵ ∴ ，
下面給出兩種不同的解法.
解法一：∵P(A)=
,P(B)=
,
∴P(A+B)=P(A)+P(B)=1.
解法二:A+B這一事件包括4種結果,即出現1,2,3和5,
∴P(A+B)=
.
請你判斷解法一和解法二的正誤.
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