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[例1] {}是正數(shù)組成的數(shù)列,其前n項(xiàng)和為,并且對(duì)于所有的自然數(shù),與2的等差中項(xiàng)等于與2的等比中項(xiàng). (1)寫(xiě)出數(shù)列{}的前3項(xiàng); (2)求數(shù)列{}的通項(xiàng)公式; 錯(cuò)解:由(1)猜想數(shù)列{}有通項(xiàng)公式=4-2. 下面用數(shù)學(xué)歸納法證明數(shù)列{}的通項(xiàng)公式是 =4-2. (∈N). ①當(dāng)=1時(shí),因?yàn)?×1-2=2,又在(1)中已求出=2,所以上述結(jié)論成立. ②假設(shè)n=k時(shí)結(jié)論成立,即有=4-2.由題意,有 將=4-2代入上式.得.解得 由題意,有 將代入.化簡(jiǎn)得 解得.∴ 這就是說(shuō),當(dāng)n=k+1時(shí),上述結(jié)論成立. 根據(jù)①.②,上述結(jié)論對(duì)所有的自然數(shù)n成立. 錯(cuò)因在于解題過(guò)程中忽視了取值的取舍. 正解:由(1)猜想數(shù)列{an}有通項(xiàng)公式an=4n-2. 猜想數(shù)列{}有通項(xiàng)公式=4-2. 下面用數(shù)學(xué)歸納法證明數(shù)列{}的通項(xiàng)公式是 =4-2. (∈N). ①當(dāng)=1時(shí),因?yàn)?×1-2=2,又在(1)中已求出=2,所以上述結(jié)論成立. ②假設(shè)n=k時(shí)結(jié)論成立,即有=4-2.由題意,有 將=4-2代入上式.得.解得 由題意,有 將代入.化簡(jiǎn)得 解得.由∴ 這就是說(shuō),當(dāng)n=k+1時(shí),上述結(jié)論成立. 根據(jù)①.②,上述結(jié)論對(duì)所有的自然數(shù)n成立. [例2] 用數(shù)學(xué)歸納法證明對(duì)于任意自然數(shù). 錯(cuò)解:證明:假設(shè)當(dāng)(N)時(shí).等式成立. 即. 那么當(dāng)時(shí). 這就是說(shuō).當(dāng)時(shí).等式成立． 可知等式對(duì)任意N成立． 錯(cuò)因在于推理不嚴(yán)密.沒(méi)有證明當(dāng)?shù)那闆r ． 正解:證明:(1)當(dāng)時(shí).左式.右式.所以等式成立． (2)假設(shè)當(dāng)()時(shí).等式成立. 即. 那么當(dāng)時(shí). 這就是說(shuō).當(dāng)時(shí).等式成立． 由.可知等式對(duì)任意N成立． [例3] 是否存在自然數(shù).使得對(duì)任意自然數(shù).都能被整除.若存在.求出的最大值.并證明你的結(jié)論,若不存在.說(shuō)明理由． 分析 本題是開(kāi)放性題型.先求出..-再歸納.猜想.證明． 解:. . . -- 猜想. 能被36整除.用數(shù)學(xué)歸納法證明如下: (1)當(dāng)時(shí)..能被36整除． (2)假設(shè)當(dāng).(N)時(shí).能被36整除． 那么.當(dāng)時(shí). 由歸納假設(shè).能被36整除. 當(dāng)為自然數(shù)時(shí).為偶數(shù).則能被36整除． ∴ 能被36整除. 這就是說(shuō)當(dāng)時(shí)命題成立． 由對(duì)任意.都能被36整除． 當(dāng)取大于36的自然數(shù)時(shí).不能被整除.所以36為最大． [例4] 設(shè)點(diǎn)是曲線(xiàn)C:與直線(xiàn)的交點(diǎn).過(guò)點(diǎn)作直線(xiàn)的垂線(xiàn)交軸于.過(guò)點(diǎn)作直線(xiàn)的平行線(xiàn)交曲線(xiàn)C于.再過(guò)點(diǎn)作的垂線(xiàn)作交X軸于.如此繼續(xù)下去可得到一系列的點(diǎn)..-..-如圖.試求的橫坐標(biāo)的通項(xiàng)公式． 分析 本題并沒(méi)有指明求通項(xiàng)公式的方法.可用歸納--猜想--證明的方法.也可以通過(guò)尋求與的遞推關(guān)系式求的通項(xiàng)公式． 解:解法一 與(.)聯(lián)立.解得 直線(xiàn)的方程為. 令.得.所以點(diǎn) 直線(xiàn)的方程為與聯(lián)立.消元得().解得. 所以點(diǎn)(.)． 直線(xiàn)的方程為. 令.得.所以點(diǎn) 同樣可求得點(diǎn)(.0) -- 由此推測(cè)(.0).即 用數(shù)學(xué)歸納法證明 (1)當(dāng)時(shí).由點(diǎn)的坐標(biāo)為(.0). 即.所以命題成立． (2)假設(shè)當(dāng)時(shí)命題成立. 即.0).則當(dāng)時(shí). 由于直線(xiàn)的方程為. 把它與(.)聯(lián)立. 消去可得(). ∴ 于是 即點(diǎn)的坐標(biāo)為(.)． ∴ 直線(xiàn)的方程為 令得. 即點(diǎn)的坐標(biāo)為(.0) ∴ 當(dāng)時(shí).命題成立． 解法二 設(shè)點(diǎn).的坐標(biāo)分別為(.0).(.0). 建立與的遞推關(guān)系.即. 由數(shù)列是等差數(shù)列.且.公差 可求得().． 用數(shù)學(xué)歸納法證明與自然數(shù)n有關(guān)的幾何命題.由k過(guò)渡到k+1常利用幾何圖形來(lái)分析圖形前后演變情況． [例5] 有n個(gè)圓.其中每?jī)蓚�(gè)圓都相交于兩點(diǎn).并且每三個(gè)圓都不相交于同一點(diǎn).求證:這n個(gè)圓把平面分成f(n)＝n2-n+2個(gè)部分． 證明①當(dāng)n＝1時(shí).即一個(gè)圓把平面分成二個(gè)部分f(1)=2 又n＝1時(shí).n2-n+2＝2.∴命題成立 ②假設(shè)n＝k時(shí).命題成立.即k個(gè)圓把平面分成f(k)＝k2-k+2個(gè) 部分.那么設(shè)第k+1個(gè)圓記⊙O.由題意.它與k個(gè)圓中每個(gè)圓 交于兩點(diǎn).又無(wú)三圓交于同一點(diǎn).于是它與其它k個(gè)圓相交于2k 個(gè)點(diǎn)．把⊙O分成2k條弧而每條弧把原區(qū)域分成2塊.因此這平 面的總區(qū)域增加2k塊.即f(k+1)＝k2-k+2+2k=(k+1)2-(k+1)+2 即n＝k+1時(shí)命題成立． 由①②可知對(duì)任何n∈N命題均成立． 說(shuō)明: 本題如何應(yīng)用歸納假設(shè)及已知條件.其關(guān)鍵是分析k增加“1 時(shí).研究第k+1個(gè)圓與其它k個(gè)圓的交點(diǎn)個(gè)數(shù)問(wèn)題． [例6] 已知n≥2.n∈N ②假設(shè)n=k時(shí).原不等式成立． 由①②可知.對(duì)任何n∈N.原不等式均成立． 【查看更多】

 

題目列表(包括答案和解析)

設(shè){an}是正數(shù)組成的數(shù)列,其前n項(xiàng)和為Sn,且對(duì)于所有的正整數(shù)n,有an=2-2.

(1)寫(xiě)出數(shù)列{an}的三項(xiàng);

(2)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式,并寫(xiě)出推證過(guò)程;

(3)令bn=,求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn.

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設(shè){an}是正數(shù)組成的數(shù)列,其前n項(xiàng)和為Sn,并且對(duì)于所有的正整數(shù)n,an與2的等差中項(xiàng)等于Sn與2的等比中項(xiàng).

(1)寫(xiě)出數(shù)列{an}的前3項(xiàng);

(2)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式(寫(xiě)出推證過(guò)程);

(3)令bn=()(n∈N*),求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn.

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設(shè){an}是正數(shù)組成的數(shù)列，其前n項(xiàng)和為Sn，并且對(duì)于所有的自然數(shù)n，an與2的等差中項(xiàng)等于Sn與2的等比中項(xiàng)．
（1）寫(xiě)出數(shù)列{an}的前3項(xiàng)；
（2）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式（寫(xiě)出推證過(guò)程）；
（3）令bn=
1
2
(
an+1
an
+
an
an+1
)(n∈N)，求
lim
n→∞
(b1+b2+…+bn-n)．

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設(shè){an}是正數(shù)組成的數(shù)列，其前n項(xiàng)和為Sn，并且對(duì)所有自然數(shù)n，an與2的等差中項(xiàng)等于Sn與2的等比中項(xiàng)，寫(xiě)出此數(shù)列的前三項(xiàng)：
 
，
 
，
 
．

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設(shè){an}是正數(shù)組成的數(shù)列，其前n項(xiàng)和為Sn，并且對(duì)于所有的n∈N+，都有8Sn=（an+2）2．
（1）寫(xiě)出數(shù)列{an}的前3項(xiàng)；
（2）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式（寫(xiě)出推證過(guò)程）；
（3）設(shè)bn=
4
an•an+1
，Tn是數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和，求使得Tn＜
m
20
對(duì)所有n∈N+都成立的最小正整數(shù)m的值．

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