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(本小題滿分12分) 某校高三文科分為五個班.高三數(shù)學測試后, 隨機地在各班抽取部分學生進行成績統(tǒng)計,各班被抽取的學生人數(shù)恰好成等差數(shù)列,人數(shù)最少的班被抽取了18人.抽取出來的所有學生的測試成績統(tǒng)計結果的頻率分布條形圖如圖所示,其中120～130(包括120分但不包括130分)的頻率為0.05,此分數(shù)段的人數(shù)為5人.

        (1) 問各班被抽取的學生人數(shù)各為多少人?

   (2) 在抽取的所有學生中,任取一名學生, 求分數(shù)不小于90分的概率.            

 

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(本小題滿分12分)某校高三文科分為四個班.高三數(shù)學調研測試后, 隨機地在各班抽取部分學生進行測試成績統(tǒng)計,各班被抽取的學生人數(shù)恰好成等差數(shù)列,人數(shù)最少的班被抽取了22人.抽取出來的所有學生的測試成績統(tǒng)計結果的頻率分布條形圖如圖5所示,其中120～130(包括120分但不包括130分)的頻率為0.05, 此分數(shù)段的人數(shù)為5人.
（1）問各班被抽取的學生人數(shù)各為多少人?
（2）在抽取的所有學生中,任取一名學生, 求分數(shù)不小于90分的概率.

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說明：1．參考答案與評分標準指出了每道題要考查的主要知識和能力，并給出了一種或幾種解法供參考，如果考生的解法與參考答案不同，可根據(jù)試題主要考查的知識點和能力比照評分標準給以相應的分數(shù)．

      2．對解答題中的計算題，當考生的解答在某一步出現(xiàn)錯誤時，如果后繼部分的解答未改變該題的內容和難度，可視影響的程度決定后繼部分的得分，但所給分數(shù)不得超過該部分正確解答應得分數(shù)的一半；如果后繼部分的解答有較嚴重的錯誤，就不再給分．

      3．解答右端所注分數(shù)，表示考生正確做到這一步應得的累加分數(shù)．

4．只給整數(shù)分數(shù)，選擇題和填空題不給中間分．

一、選擇題：本大題主要考查基本知識和基本運算．共10小題，每小題5分，滿分50分．

題號

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

答案

C

A

B

A

B

C

D

C

B

D

二、填空題：本大題主要考查基本知識和基本運算．本大題共5小題，考生作答4小題，每小題5分，滿分20分．其中14～15題是選做題，考生只能選做一題．

11．      12．    13．     14．    15．2

說明：第14題答案可以有多種形式，如可答或Z）等, 均給滿分.

三、解答題：本大題共6小題，滿分80分.解答須寫出文字說明、證明過程和演算步驟.

16．(本小題滿分12分)           

解：（1）∵

                                        …… 2分

                                   …… 4分       

             .                                  …… 6分

∴.                                             …… 8分

(2) 當時, 取得最大值, 其值為2 .               ……10分

此時，即Z.                 ……12分

17. (本小題滿分12分)

解:(1) 由頻率分布條形圖知,抽取的學生總數(shù)為人.         ……4分   

∵各班被抽取的學生人數(shù)成等差數(shù)列,設其公差為,

由=100,解得.

∴各班被抽取的學生人數(shù)分別是22人，24人，26人，28人.     ……8分

(2) 在抽取的學生中,任取一名學生, 則分數(shù)不小于90分的概率為0.35+0.25+0.1+0.05=0.75.

……12分

18．(本小題滿分14分)

解：（1）∵ ⊥平面，平面，     

∴ ⊥.                                                …… 2分   

∵ ⊥，，

∴ ⊥平面，                                         …… 4分

∵ 平面，

∴ ⊥.                                                …… 6分

（2）法1: 取線段的中點，的中點，連結,

則是△中位線.

∴∥，，               ……8分

∵ ，，

∴.

∴ 四邊形是平行四邊形，            ……10分

∴ .

∵ 平面，平面，

∴ ∥平面.                                          ……12分   

∴ 線段的中點是符合題意要求的點．                      ……14分

 法2: 取線段的中點，的中點，連結,

則是△的中位線.

∴∥，，                 

∵平面, 平面,

∴平面.                         …… 8分

∵ ，，

∴.

∴ 四邊形是平行四邊形，             

∴ .

∵ 平面，平面，

∴ ∥平面.                                        ……10分

∵,

∴平面平面.

∵平面,

∴∥平面.                                          ……12分

∴ 線段的中點是符合題意要求的點．                     ……14分

19. (本小題滿分14分)

解:(1)依題意知,                                      …… 2分           

    ∵,

∴.                                     …… 4分

∴所求橢圓的方程為.                               …… 6分

（2）∵ 點關于直線的對稱點為，

∴                                        …… 8分

解得：，.                            …… 10分

∴.                                              …… 12分

∵ 點在橢圓:上,

∴, 則.

∴的取值范圍為.                                ……14分

20. (本小題滿分14分)

(1) 解：當時，.　                                       ……1分

　  當時，

.                                        ……3分

∵不適合上式,

∴　　                                     ……4分

（2）證明: ∵.

當時，                                         ……6分

當時，,　　　       ①

.　 　②

①－②得:

得，                             ……8分

此式當時也適合.

∴N.　　                               

　         　∵，

∴.                                              ……10分

當時，，

∴.                                     ……12分

∵，

∴.　                                   

故，即.

綜上，．                              ……14分

21. (本小題滿分14分)

解：（1）當時，，

∴.                     

       令=0, 得 .                                    …… 2分                   

當時,, 則在上單調遞增;

當時,, 則在上單調遞減;

當時,, 在上單調遞增.                    …… 4分   

∴ 當時, 取得極大值為;

當時, 取得極小值為.        …… 6分

（2） ∵ = ，

∴△= =  .                             

① 若a≥1，則△≤0，                                           …… 7分

∴≥0在R上恒成立，

∴ f（x）在R上單調遞增 .                                                    

∵f（0），,                  

∴當a≥1時，函數(shù)f（x）的圖象與x軸有且只有一個交點．        …… 9分 

② 若a＜1，則△＞0，

∴= 0有兩個不相等的實數(shù)根，不妨設為x₁，x₂，（x₁<x₂）．

∴x₁+x₂ = 2，x₁x₂ = a．  

當變化時，的取值情況如下表：                        

x

x₁

（x₁，x₂）

x₂

+

0

－

0

+

f（x）

ㄊ

極大值

ㄋ

極小值

ㄊ

                                       …… 11分

∵,

∴.

∴

        .

同理.

∴

.

          令f（x₁）?f（x₂）＞0,  解得a＞．                                    

          而當時,,

          故當時, 函數(shù)f（x）的圖象與x軸有且只有一個交點.         …… 13分                             

綜上所述，a的取值范圍是．                                …… 14分