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已知復(fù)數(shù)均為實(shí)數(shù).為虛數(shù)單位.且對(duì)于任意復(fù)數(shù). 【查看更多】

 

題目列表(包括答案和解析)

已知復(fù)數(shù)均為實(shí)數(shù)，為虛數(shù)單位，且對(duì)于任意復(fù)數(shù)。

（1）試求的值，并分別寫(xiě)出和用、表示的關(guān)系式；

（2）將(、)作為點(diǎn)的坐標(biāo)，(、)作為點(diǎn)的坐標(biāo)，上述關(guān)系可以看作是坐標(biāo)平面上點(diǎn)的一個(gè)變換：它將平面上的點(diǎn)變到這一平面上的點(diǎn)，

當(dāng)點(diǎn)在直線上移動(dòng)時(shí)，試求點(diǎn)經(jīng)該變換后得到的點(diǎn)的軌跡方程；

（3）是否存在這樣的直線：它上面的任一點(diǎn)經(jīng)上述變換后得到的點(diǎn)仍在該直線上？若存在，試求出所有這些直線；若不存在，則說(shuō)明理由。

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已知復(fù)數(shù)均為實(shí)數(shù)，為虛數(shù)單位，且對(duì)于任意復(fù)數(shù)。

（Ⅰ）試求的值，并分別寫(xiě)出和用、表示的關(guān)系式；

（Ⅱ）將(、)作為點(diǎn)的坐標(biāo)，(、)作為點(diǎn)的坐標(biāo)，上述關(guān)系可以看作是坐標(biāo)平面上點(diǎn)的一個(gè)變換：它將平面上的點(diǎn)變到這一平面上的點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)在直線上移動(dòng)時(shí)，試求點(diǎn)經(jīng)該變換后得到的點(diǎn)的軌跡方程；

（Ⅲ）是否存在這樣的直線：它上面的任一點(diǎn)經(jīng)上述變換后得到的點(diǎn)仍在該直線上？若存在，試求出所有這些直線；若不存在，則說(shuō)明理由。

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（2000•上海）已知復(fù)數(shù)z0=1-mi（m＞0），z=x+yi和w=x'+y'i，其中x，y，x'，y'均為實(shí)數(shù)，i為虛數(shù)單位，且對(duì)于任意復(fù)數(shù)z，有w=
.
z0
•
.
z
，|w|=2|z|．
（Ⅰ）試求m的值，并分別寫(xiě)出x'和y'用x、y表示的關(guān)系式；
（Ⅱ）將（x、y）作為點(diǎn)P的坐標(biāo)，（x'、y'）作為點(diǎn)Q的坐標(biāo)，上述關(guān)系可以看作是坐標(biāo)平面上點(diǎn)的一個(gè)變換：它將平面上的點(diǎn)P變到這一平面上的點(diǎn)Q，當(dāng)點(diǎn)P在直線y=x+1上移動(dòng)時(shí)，試求點(diǎn)P經(jīng)該變換后得到的點(diǎn)Q的軌跡方程；
（Ⅲ）是否存在這樣的直線：它上面的任一點(diǎn)經(jīng)上述變換后得到的點(diǎn)仍在該直線上？若存在，試求出所有這些直線；若不存在，則說(shuō)明理由．

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（2000•上海）已知復(fù)數(shù)z0=1-mi（m＞0），z=x+yi和，其中x，y，x'，y'均為實(shí)數(shù)，i為虛數(shù)單位，且對(duì)于任意復(fù)數(shù)z，有w=
.
z0
•
.
z
，|w|=2|z|．
（Ⅰ）試求m的值，并分別寫(xiě)出x'和y'用x、y表示的關(guān)系式：
（Ⅱ）將（x、y）用為點(diǎn)P的坐標(biāo)，（x'、y'）作為點(diǎn)Q的坐標(biāo)，上述關(guān)系式可以看作是坐標(biāo)平面上點(diǎn)的一個(gè)變換：它將平面上的點(diǎn)P變到這一平面上的點(diǎn)Q．已知點(diǎn)P經(jīng)該變換后得到的點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(
3
，2)，試求點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（Ⅲ）若直線y=kx上的任一點(diǎn)經(jīng)上述變換后得到的點(diǎn)仍在該直線上，試求k的值．

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（2002•上海）已知z、ω為復(fù)數(shù)，（1+3i）z為純虛數(shù)，ω=
z
2+i
，且|ω|=5
2
，求ω．

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1、B

2、D

3、A

4、［解法一］設(shè)

    而

    又∵在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第二、四象限的角平分線上,

    ∴,得.

    ∴.  即;,

    當(dāng)時(shí),有,即,得.

    當(dāng)時(shí),同理可得.

    ［解法二］,∴,

得

    或  得.

    當(dāng)時(shí),有,即,得.

當(dāng)時(shí),同理可得.

5、解:由

由得

故

當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),即時(shí),上式取等號(hào).

所以當(dāng)時(shí),函數(shù)取最大值

6、D

7、解：因?yàn)?sub>

因?yàn)?sub>

于是

由此得OP⊥OQ，|OP|=|OQ| .

由此知△OPQ有兩邊相等且其夾角為直角，故△OPQ為等腰直角三角形。

8、B

9、解：設(shè)Z1，Z3對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)分別為

依題設(shè)得

10、A

11、（1）
（2）

12、，或

13、解：（Ⅰ）由 

                      

                      ，

   得．                                          ……4分

   因?yàn)?nbsp; ，，

   所以  ．                                               ……6分

  （Ⅱ）因?yàn)?sub>，

   所以  ，而，所以，

   ，同理， ．

   由（Ⅰ）知  ，

   即   ，

  所以       的實(shí)部為，                                                      ……8分

  而的輻角為時(shí)，復(fù)數(shù)的實(shí)部為

          ，

  所以                                                           ……12分

14、C

15、[解]（1）由題設(shè)，，

于是由，                             …（3分）

因此由，

得關(guān)系式                                 …（5分）

[解]（2）設(shè)點(diǎn)在直線上，則其經(jīng)變換后的點(diǎn)滿足

，                                    …（7分）

消去，得，

故點(diǎn)的軌跡方程為                        …（10分）

[解]（3）假設(shè)存在這樣的直線，∵平行坐標(biāo)軸的直線顯然不滿足條件，

∴所求直線可設(shè)為，                              …（12分）

[解法一]∵該直線上的任一點(diǎn)，其經(jīng)變換后得到的點(diǎn)

仍在該直線上，

∴，

即，

當(dāng)時(shí)，方程組無(wú)解，

故這樣的直線不存在。                                            …（16分）

當(dāng)時(shí)，由

得，

解得或，

故這樣的直線存在，其方程為或，                       …（18分）

[解法二]取直線上一點(diǎn)，其經(jīng)變換后的點(diǎn)仍在該直線上，

∴，

得，                                            …（14分）

故所求直線為，取直線上一點(diǎn)，其經(jīng)變換后得到的點(diǎn)仍在該直線上。

∴，                                     …（16分）

即，得或，

故這樣的直線存在，其方程為或，           …（18分）

 


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