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4．二面角α--β的平面角為120°，A、B∈，ACα，BDβ，AC⊥，BD⊥，若AB＝AC＝BD＝，則CD的長為　　 ．

◆答案提示：1.A;　 2. A;　 3.120°; 4. 2

[解答題]

3.已知空間三點A(1，1，1)、B(－1，0，4)、C(2，－2，3)，則與的夾角θ的大小是_________.

2．在正方體A-C₁中，E、F分別為D₁C₁與AB的中點，則A₁B₁與截面A₁ECF所成的角為　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　(　 )

A．arctan　　 B．arccos 　C．arcsin　　　 D．都不對

[填空題]

1．設(shè)OABC是四面體，G₁是△ABC的重心，G是OG₁上一點，且OG=3GG₁，若 =x+y+z，則(x，y，z)為　　　　　　　　　　　　　 (　 )

A(，，)　　　 B(，，)　　

C(，，)　　 　　 D(，，)

2．求點面距離，線面距離、面面距離及異面直線的距離的方法：

同步練習(xí)　　　 9.8用空間向量求角和距離

[選擇題]

1.求線線角、線面角、二面角的方法：

[例1] (2005江西)如圖，在長方體ABCD-A₁B₁C₁D₁，中，AD=AA₁=1，AB=2，點E在棱AB上移動.(1)證明：D₁E⊥A₁D；

(2)當(dāng)E為AB的中點時，求點E到面ACD₁的距離；

(3)AE等于何值時，二面角D₁-EC-D的大小為.

解：以D為坐標(biāo)原點，直線DA，DC，DD₁分別為x,y,z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)AE=x，則A₁(1，0，1)，D₁(0，0，1)，E(1，x，0)，A(1，0，0)C(0，2，0)

(1)

(2)因為E為AB的中點，則E(1，1，0)，

從而，，

設(shè)平面ACD₁的法向量為不與y軸垂直,可設(shè)

，則

也即，得，從而，

∴點E到平面AD₁C的距離:

(3)

設(shè)平面D₁EC的法向量，

由　

依題意

∴(不合，舍去)， .

∴AE=時，二面角D₁-EC-D的大小為

[例2](2005全國)已知四棱錐P-ABCD的底面為直角梯形，AB∥DC，底面ABCD，

且PA=AD=DC=AB=1，M是PB的中點。

(Ⅰ)證明：面PAD⊥面PCD；

(Ⅱ)求AC與PB所成的角；

(Ⅲ)求面AMC與面BMC所成二面角的大小.

(Ⅰ)證明：因為PA⊥PD，PA⊥AB，AD⊥AB，以A為坐標(biāo)原點AD長為單位長度，如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則各點坐標(biāo)為A(0，0，0)B(0，2，0)，C(1，1，0)，D(1，0，0)，P(0，0，1)，M(0，1，

又由題設(shè)知AD⊥DC，且AP與與AD是平面PAD內(nèi)的兩條相交直線，由此得DC⊥面PAD.

又DC在面PCD上，故面PAD⊥面PCD

(Ⅱ)解：因

由此得AC與PB所成的角為

(Ⅲ)解：設(shè)平面ACM的法向量為，

由得：

設(shè)平面BCM的法向量為同上得

　 ∴

結(jié)合圖形可得二面角A-MC-B為

解法2：在MC上取一點N(x，y，z)，則存在使

要使

為所求二面角的平面角.

　[例3]如圖，AF　 DE分別是⊙O　 ⊙O₁的直徑　 AD與兩圓所在的平面均垂直，AD＝8,BC是⊙O的直徑，AB＝AC＝6，OE//AD　

(Ⅰ)求直線BD與EF所成的角；

(Ⅱ)求異面直線BD和EF之間的距離.

解：(Ⅰ)以O為原點，BC　 AF　 OE所在直線為坐標(biāo)軸，建立空間直角坐標(biāo)系(如圖所示)，

則O(0，0，0)，A(0，，0)，B(，0，0),D(0，，8)，E(0，0，8)，F(0，，0)

所以，

設(shè)異面直線BD與EF所成角為，則

直線BD與EF所成的角為

(Ⅱ)設(shè)向量與BD、EF都垂直，則有

，

　 ∴ BD、EF之間的距離

4.(2，1，)，d_AB=

4．　 已知A(3，2，1)、B(1，0，4)，則線段AB的中點坐標(biāo)和長度分別是　　　　　 ，　　　 .

◆答案提示： 1. C； 2. A； 3. ；

3．已知向量a=(1，1，0)，b=(－1，0，2)，且ka+b與2a－b互相垂直，則k= ___