Question

2．如圖，直線l₁⊥l₂，l₁⊥l₃，垂足分別為D、E，把一個等腰三角形（AC=BC，∠ACB=90°）放入圖中，使三角板的三個頂點A、B、C分別在直線l₃、l₂、l₁上滑動（l₃、l₂也可以左右移動，但l₃始終在l₂的右邊），在滑動過程中你發(fā)現(xiàn)線段BD、AE與DE有什么關系？試說明你的結論．
（1）如圖1，根據(jù)條件請完成填空．
證明：∵l₁⊥l₂，l₁⊥l₃
∴∠BDC=∠CEA=90°
∴∠ACE+∠CAE=90°
∵∠ACB=90°
∴∠ACE+∠BCD=90°
∴∠CAE=∠BCD（同角的余角相等）
在△CBD和△ACE中
$\left\{\begin{array}{l}{∠BDC=∠CEA}\\{∠CAE=∠BCD}\\{BC=AC}\end{array}\right.$
∴△CBD≌△ACE（AAS）
∴BD=CE，AE=DC
∴DE=DC+CE=AE+BD
（2）如圖2，BD、AE與DE有什么關系，猜想并證明．
猜想關系：DE=BD-AE．
證明：
（3）如圖3，BD、AE與DE有什么關系？
猜想關系：DE=AE-BD．（只寫結論，不必證明）

Answer 1

分析 （1）根據(jù)同角的余角相等，全等三角形的判定定理即可得出結論；
（2）根據(jù)（1）中的思路△CBD≌△ACE，然后依據(jù)全等三角形的性質進行證明即可；
（3）依據(jù)（1）、（2）的結論，結合圖形即可得出結論．

解答 解：（1）如圖1，根據(jù)條件請完成填空．

證明：∵l₁⊥l₂，l₁⊥l₃
∴∠BDC=∠CEA=90°
∴∠ACE+∠CAE=90°
∵∠ACB=90°
∴∠ACE+∠BCD=90°
∴∠CAE=∠BCD（同角的余角相等）
在△CBD和△ACE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠BDC=∠CEA}\\{∠CAE=∠BCD}\\{BC=AC}\end{array}\right.$
∴△CBD≌△ACE（AAS） 
∴BD=CE，AE=DC
∴DE=DC+CE=AE+BD
（2）如圖2，BD、AE與DE有什么關系，猜想并證明．猜想關系：DE=BD-AE．

證明：∵l₁⊥l₂，l₁⊥l₃
∴∠BDC=∠CEA=90°  
∴∠ACE+∠CAE=90°
∵∠ACB=90°
∴∠ACE+∠BCD=90°
∴∠CAE=∠BCD  
在△CBD和△ACE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠BDC=∠CEA}\\{∠CAE=∠BCD}\\{BC=AC}\end{array}\right.$
∴△CBD≌△ACE．
∴BD=CE，AE=DC
∴DE=CE-CD=BD-AE．
（3）如圖3，DE=AE-BD．

證明：∵l₁⊥l₂，l₁⊥l₃
∴∠BDC=∠CEA=90°  
∴∠ACE+∠CAE=90°
∵∠ACB=90°
∴∠ACE+∠BCD=90°
∴∠CAE=∠BCD  
在△CBD和△ACE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠BDC=∠CEA}\\{∠CAE=∠BCD}\\{BC=AC}\end{array}\right.$
∴△CBD≌△ACE．
∴BD=CE，AE=DC
∴DE=CD-CE=AE-BD．

點評 本題主要考查的是全等三角形的性質和判定，證得△CBD≌△ACE是解題的關鍵．