Question

7．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，函數(shù)y=$\frac{k}{x}$（x＞0，k是常數(shù)）的圖象經(jīng)過A（2，6），B（m，n），其中m＞2．過點(diǎn)A作x軸垂線，垂足為C，過點(diǎn)B作y軸垂線，垂足為D，AC與BD交于點(diǎn)E，連結(jié)AD，DC，CB．
（1）若△ABD的面積為3，求k的值和直線AB的解析式；
（2）求證：$\frac{DE}{CE}$=$\frac{BE}{AE}$；
（3）若AD∥BC，求點(diǎn)B的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）先求出k的值，進(jìn)而得出mn=12，然后利用三角形的面積公式建立方程，聯(lián)立方程組求解即可；
（2）先表示出BE，CE，DE，AE，進(jìn)而求出BE•CE和DE•CE即可得出結(jié)論；
（3）利用（2）的結(jié)論得出△DEC∽△BEA，進(jìn)而得出AB∥CD，即可得出四邊形ADCB是菱形即可得出點(diǎn)B的坐標(biāo)．

解答 解：（1）∵函數(shù)y=$\frac{k}{x}$（x＞0，k是常數(shù)）的圖象經(jīng)過A（2，6），
∴k=2×6=12，
∵B（m，n），其中m＞2．過點(diǎn)A作x軸垂線，垂足為C，過點(diǎn)B作y軸垂線，垂足為D，
∴mn=12①，BD=m，AE=6-n，
∵△ABD的面積為3，
∴$\frac{1}{2}$BD•AE=3，
∴$\frac{1}{2}$m（6-n）=3②，
聯(lián)立①②得，m=3，n=4，
∴B（3，4）；
設(shè)直線AB的解析式為y=kx+b（k≠0），
則$\left\{\begin{array}{l}{2k+b=6}\\{3k+b=4}\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{k=-2}\\{b=10}\end{array}\right.$，
∴直線AB的解析式為y=-2x+10

（2）∵A（2，6），B（m，n），
∴BE=m-2，CE=n，DE=2，AE=6-n，
∴DE•AE=2（6-n）=12-2n，
BE•CE=n（m-2）=mn-2n=12-2n，
∴DE•AE=BE•CE，
∴$\frac{DE}{CE}=\frac{BE}{AE}$

（3）由（2）知，$\frac{DE}{CE}=\frac{BE}{AE}$，
∵∠AEB=∠DEC=90°，
∴△DEC∽△BEA，
∴∠CDE=∠ABE
∴AB∥CD，
∵AD∥BC，
∴四邊形ADCB是平行四邊形．
又∵AC⊥BD，
∴四邊形ADCB是菱形，
∴DE=BE，CE=AE．
∴B（4，3）．

點(diǎn)評(píng) 此題是反比例函數(shù)綜合題，主要考查了待定系數(shù)法，相似三角形的判定和性質(zhì)，平行四邊形的判定和性質(zhì)，菱形的判定和性質(zhì)，解（1）的關(guān)鍵是確定出k的值，解（2）的關(guān)鍵是表示出DE•AE，BE•CE，解（3）的關(guān)鍵是判斷出四邊形ADCB是菱形．