Question

16．如圖，正方形ABCD，AC、BD交于點(diǎn)O，點(diǎn)E、F分別在AB、BC上，且∠EOF=90°，則下列結(jié)論①AE=BF，②OE=OF，③BE+BF=AD，④AE²+CF²=2OE²中正確的有①②③④（只寫序號(hào)）

Answer 1

分析 如圖延長(zhǎng)FO交AD于H，連接EH．首先證明△EOB≌△FOC，推出BE=CF，OE=OF，由AB=BC，推出AE=BF，BE+BF=BF+CF=BC=AD，故①②③正確，再證明△AOH≌△COF，推出AH=CF，OH=OE=OF，推出△EOH是等腰直角三角形，推出EH=$\sqrt{2}$OE，在Rt△AEH中，根據(jù)AE²+AH²=EH²，推出AE²+CF²=2OE²，故④正確．

解答 解：如圖延長(zhǎng)FO交AD于H，連接EH．

∵四邊形ABCD是正方形，
∴AB=BC=AD，OA=OB=OC，∠OBE=∠OCF=45°，AC⊥BD，
∴∠EOF=∠BOC=90°，
∴∠EOB=∠FOC，
在△EOB和△FOC中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠EOB=∠FOC}\\{OB=OC}\\{∠OBE=∠OCF}\end{array}\right.$，
∴△EOB≌△FOC，
∴BE=CF，OE=OF，
∵AB=BC，
∴AE=BF，
∴BE+BF=BF+CF=BC=AD，故①②③正確，
在△AOH和△COF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠OAH=∠OCF}\\{∠AOH=∠COF}\\{OA=OC}\end{array}\right.$，
∴△AOH≌△COF，
∴AH=CF，OH=OE=OF，
∴△EOH是等腰直角三角形，
∴EH=$\sqrt{2}$OE，
在Rt△AEH中，
AE²+AH²=EH²，
∴AE²+CF²=2OE²，故④正確．
故答案為①②③④．

點(diǎn)評(píng) 本題考查正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、等腰直角三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問(wèn)題，屬于中考�？碱}型．