Question

11．如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA=$\frac{4}{5}$，AB=10，點(diǎn)O為AC上一點(diǎn)，以O(shè)A為半徑作⊙O交AB于點(diǎn)D，BD的中垂線(xiàn)分別交BD，BC于點(diǎn)E，F(xiàn)，連結(jié)DF．
（1）求證：DF為⊙O的切線(xiàn)；
（2）若AO=x，DF=y，求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式．

Answer 1

分析 （1）連接OD，由于EF是BD的中垂線(xiàn)，DF=BF．從而可知∠FDB=∠B，又因?yàn)镺A=OD，所以∠OAD=∠ODA，從而可證明∠ODF=90°；
（2）連接OF，由題意可知：AO=x，DF=y，OC=6-x，CF=8-y，然后在Rt△COF中與Rt△ODF中利用勾股定理分別求出OF，化簡(jiǎn)原式即可求出答案．

解答 （1）連接OD．
∵OA=OD，
∴∠OAD=∠ODA，
∵EF是BD的中垂線(xiàn)，
∴DF=BF．
∴∠FDB=∠B，
∵∠C=90°，
∴∠OAD+∠B=90°．
∴∠ODA+∠FDB=90°．
∴∠ODF=90°，
又∵OD為⊙O的半徑，
∴DF為⊙O的切線(xiàn)，

（2）連接OF．
在Rt△ABC中，
∵∠C=90°，sinA=$\frac{4}{5}$，AB=10，
∴AC=6，BC=8，
∵AO=x，DF=y，
∴OC=6-x，CF=8-y，
在Rt△COF中，
OF²=（6-x）²+（8-x）²
在Rt△ODF中，
OF²=x²+y²
∴（6-x）²+（8-x）²=x²+y²，
∴y=-$\frac{3}{4}$x+$\frac{25}{4}$（0＜x≤6）

點(diǎn)評(píng) 本題考查圓的綜合問(wèn)題，涉及切線(xiàn)的性質(zhì)，勾股定理、垂直平分線(xiàn)的性質(zhì)等知識(shí)，綜合程度較高．