Question

2．如圖，AB是⊙O的直徑，C為⊙O上一點，點D在CO的延長線上，連接BD，已知BC=BD，AB=4，BC=2$\sqrt{3}$．
（1）求證：BD是⊙O的切線；
（2）求CD的長．

Answer 1

分析 （1）由AB為圓的直徑，利用直徑所對的圓周角為直角得到∠ACB為直角，進而得到三角形ABC為直角三角形，利用銳角三角函數(shù)定義求出sinA的值，利用特殊角的三角函數(shù)值求出∠A的度數(shù)為60度，再由OA=OC，得到三角形AOC為等邊三角形，利用等邊三角形的性質得到兩個角為60度，進而求出∠BCD為30度，利用三角形內角和定理求出∠OBD為直角，即OB垂直于BD，即可得證；
（2）由AB為直徑，求出半徑為2，由BC=BD，利用等邊對等角得到一對角相等，再由OC=OB得到一對角相等，等量代換得到∠D=∠OBC，再由一對公共角相等，得到三角形OCB與三角形BCD相似，由相似得比例，即可求出CD的長．

解答 解：（1）∵AB為圓O的直徑，
∴∠ACB=90°，
在Rt△ABC中，∵sinA=$\frac{BC}{AB}$=$\frac{2\sqrt{3}}{4}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴∠A=60°，
∵AO=CO，
∴△AOC為等邊三角形，
∴∠AOC=∠ACO=60°，
∴∠BCD=∠ACB-∠ACO=90°-60°=30°，
∵∠BOD=∠AOC=60°，
∴∠OBD=180°-（∠BOD+∠D）=90°，
∴OB⊥BD，
則BD為圓O的切線；

（2）∵AB為圓O的直徑，且AB=4，
∴OB=OC=2，
∵BC=BD，
∴∠BCD=∠D，
∵OC=OB，
∴∠BCD=∠OBC，
∴∠D=∠OBC，
在△BCD和△OCB中，
∠D=∠OBC，∠BCD=∠OCB，
∴△BCD∽△OCB，
∴$\frac{CD}{BC}$=$\frac{BC}{OC}$，即$\frac{CD}{2\sqrt{3}}$=$\frac{2\sqrt{3}}{2}$，
則CD=6．

點評 此題考查了切線的判定，相似三角形的判定與性質，等腰三角形的性質，等邊三角形的判定與性質，熟練掌握切線的判定方法是解本題的關鍵．