Question

17．如圖，拋物線y=-x²+bx+c與x軸交于A（-1，0）、B（3，0）兩點(diǎn)，與y軸相交于點(diǎn)C，頂點(diǎn)為D．
（1）求拋物線的函數(shù)解析式；
（2）連接BC，與拋物線的對(duì)稱軸交于點(diǎn)E，點(diǎn)P為線段BC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作x軸的垂線，交拋物線于點(diǎn)F，設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m，△BCF的面積為S，求S與m間的函數(shù)關(guān)系式；
（3）在（2）中是否存在點(diǎn)P，使得四邊形DEPF是平行四邊形？若存在，求出P點(diǎn)的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）直接利用待定系數(shù)法求出拋物線的解析式即可；
（2）可將三角形BCF分成兩部分來(lái)求：一部分是三角形PFC，以PF為底邊，以P的橫坐標(biāo)為高即可得出三角形PFC的面積．一部分是三角形PFB，以PF為底邊，以P、B兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)差的絕對(duì)值為高，即可求出三角形PFB的面積．然后根據(jù)三角形BCF的面積=三角形PFC的面積+三角形PFB的面積，可求出關(guān)于S、m的函數(shù)關(guān)系式；
（3）PF的長(zhǎng)就是當(dāng)x=m時(shí)，根據(jù)直線BC的解析式，可得出E點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)拋物線的解析式可求出D點(diǎn)的坐標(biāo)，然后根據(jù)坐標(biāo)系中兩點(diǎn)的距離公式，可求出DE的長(zhǎng)，然后讓PF=DE，即可求出此時(shí)m的值．

解答 解：（1）∵拋物線y=-x²+bx+c與x軸交于A（-1，0）、B（3，0）兩點(diǎn)，
∴$\left\{\begin{array}{l}{-1-b+c=0}\\{-9+3b+c=0}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{b=2}\\{c=3}\end{array}\right.$，
故拋物線解析式為：y=-x²+2x+3；

（2）設(shè)直線BC的函數(shù)關(guān)系式為：y=kx+b（k≠0）．
把B（3，0），C（0，3）分別代入得：$\left\{\begin{array}{l}{3k+b=0}\\{b=3}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=1}\\{b=3}\end{array}\right.$．
所以直線BC的函數(shù)關(guān)系式為：y=-x+3．
如圖1，設(shè)直線PF與x軸交于點(diǎn)M，由B（3，0），O（0，0），可得：OB=OM+MB=3．
當(dāng)x=1時(shí)，y=-1+3=2，
∴E（1，2）．
當(dāng)x=m時(shí)，y=-m+3，
∴P（m，-m+3）．
在y=-x²+2x+3中，當(dāng)x=1時(shí)，y=4．
∴D（1，4）
當(dāng)x=m時(shí)，y=-m²+2m+3，
∴F（m，-m²+2m+3）
∴線段DE=4-2=2，
線段PF=-m²+2m+3-（-m+3）=-m²+3m
∴S=S_△BCF=S_△BPF+S_△CPF=$\frac{1}{2}$FP×MO+$\frac{1}{2}$PF×BM=$\frac{1}{2}$（-m²+3m）×3=-$\frac{3}{2}$m²+$\frac{9}{2}$m．
m的變化范圍是：0≤m≤3．

（3）如圖2，在（2）中存在點(diǎn)P，使得四邊形DEPF是平行四邊形．
∵線段DE=4-2=2，
線段PF=-m²+2m+3-（-m+3）=-m²+3m
∵PF∥DE，
∴當(dāng)PF=ED時(shí)，四邊形PEDF為平行四邊形．
由-m²+3m=2，解得：m₁=2，m₂=1（不合題意，舍去）．
因此，當(dāng)m=2時(shí)，四邊形PEDF為平行四邊形．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，根據(jù)二次函數(shù)得出相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)和對(duì)稱軸的解析式是解題的基礎(chǔ)．