Question

6．如圖，在邊長為1的菱形ABCD中，∠DAB=60°，連接對(duì)角線AC，以AC為邊作第二個(gè)菱形ACC₁D₁，使∠D₁AC=60°，連接AC₁，再以AC₁為邊作第三個(gè)菱形AC₁C₂D₂，使∠D₂AC₁=60°；…，按此規(guī)律所作的第六個(gè)菱形的邊長為（　�。�

• A． 9
• B． 9$\sqrt{3}$
• C． 27
• D． 27$\sqrt{3}$

Answer 1

分析 先求出第一個(gè)菱形和第二個(gè)菱形的邊長，得出規(guī)律，根據(jù)規(guī)律即可得出結(jié)論．

解答 解：連接BD交AC于O，連接CD₁交AC₁于E，如圖所示：
∵四邊形ABCD是菱形，∠DAB=60°，
∴ACD⊥BD，∠BAO=$\frac{1}{2}$∠DAB=30°，
OA=$\frac{1}{2}$AC，
∴OA=AB•cos30°=1×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴AC=2OA=$\sqrt{3}$，
同理AE=AC•cos30°=$\sqrt{3}$•$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{3}{2}$，AC₁=3=（$\sqrt{3}$）²，…，
第n個(gè)菱形的邊長為（$\sqrt{3}$）^n-1，
∴第六個(gè)菱形的邊長為（$\sqrt{3}$）⁵=9$\sqrt{3}$；
故選：B．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了菱形的性質(zhì)、含30°角的直角三角形以及銳角三角函數(shù)的運(yùn)用；根據(jù)第一個(gè)和第二個(gè)菱形的邊長得出規(guī)律是解決問題的關(guān)鍵．