Question

19．如圖，已知正方形ABCD，P是對(duì)角線(xiàn)AC上任意一點(diǎn)，E為AD上的點(diǎn)，且∠EPB=90°，PM⊥AD，PN⊥AB．
（1）求證：四邊形PMAN是正方形；
（2）求證：EM=BN．

Answer 1

分析 （1）由四邊形ABCD是正方形，易得∠BAD=90°，AC平分∠BAD，又由PM⊥AD，PN⊥AB，即可證得四邊形PMAN是正方形；
（2）由四邊形PMAN是正方形，易證得△EPM≌△BPN，即可證得：EM=BN．

解答 解：
（1）證明：∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠BAD=90°，AC平分∠BAD，
∵PM⊥AD，PN⊥AB，
∴PM=PN，∠PMA=∠PNA=90°，
∴四邊形PMAN是矩形，
∵PM=PN，
∴四邊形PMAN是正方形；
（2）證明：∵四邊形PMAN是正方形，
∴PM=PN，∠MPN=90°，
∵∠EPB=90°，
∴∠MPE+∠EPN=∠NPB+∠EPN=90°，
∴∠MPE=∠NPB，
在△EPM和△BPN中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠PMA=∠PNB=90°}\\{PM=PN}\\{∠MPE=∠NPB}\end{array}\right.$，
∴△EPM≌△BPN（ASA），
∴EM=BN．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了正方形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)以及等腰直角三角形的判定與性質(zhì)．熟練掌握正方形的各種性質(zhì)是證題的關(guān)鍵．