Question

8．如圖，連接正方形ABCD的對(duì)角線BD，把△BCD繞點(diǎn)B按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)45°得到△BEG，此時(shí)EG交AD于點(diǎn)F．如果AD=1，那么AF=$\sqrt{2}-1$．

Answer 1

分析 如圖，首先運(yùn)用正方形的性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)證明BE=BC=1，BG=BD=$\sqrt{2}$；其次證明DF=GF，此為解決該題的關(guān)鍵性結(jié)論；運(yùn)用勾股定理列出關(guān)于DF的方程，求出DF即可解決問題．

解答 解：如圖，∵四邊形ABCD為正方形，且邊長(zhǎng)為1，
∴∠C=90°，CD=CB=1，
∴$BD=\sqrt{{1}^{2}+{1}^{2}}=\sqrt{2}$；由題意得：
BE=BC=1，BG=BD=$\sqrt{2}$，
∴DE=AG=$\sqrt{2}$-1；而∠DEF=∠GAF=90°，∠DFE=∠GFA，
∴△DEF∽△GAF，
∴$\frac{DE}{AG}=\frac{DF}{GF}$=1，
∴DF=GF（設(shè)為λ），則AF=1-λ，
由勾股定理得：${λ}^{2}=（\sqrt{2}-1）^{2}+（1-λ）^{2}$，
解得：λ=2-$\sqrt{2}$，
∴AF=1-λ=$\sqrt{2}-1$，
故答案為$\sqrt{2}$-1．

點(diǎn)評(píng) 該題主要考查了旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)、正方形的性質(zhì)、相似三角形的判定、勾股定理等幾何知識(shí)點(diǎn)及其應(yīng)用問題；解題的關(guān)鍵是牢固掌握旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)、正方形的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，并能靈活運(yùn)用．