Question

15．已知：如圖，AB是△ABC的外接圓O的直徑，D為⊙O上一點(diǎn)，且DE⊥CD，交BC于點(diǎn)E．求證：$\frac{AC}{BE}=\frac{CD}{ED}$．

Answer 1

分析 延長DE交⊙O于F，連接CF；由CD⊥DE，可知CF必為⊙O的直徑．連接AF、BF，由于四邊形ACBF的對角線相等且互相平分，因此四邊形ACBF是矩形．可得AC=BF，∠EBF=90°；易證得△CED∽△FEB，可得出關(guān)于EB、CD、DE、BF的比例關(guān)系式，將AC=BF代入上式，可得出本題所證的結(jié)論．

解答 證明：延長DE，交⊙O于F；連接CF，AF、BF；
由于CD⊥DF，即∠CDF=90°，
因此CF必為⊙O的直徑．
∵OA=OB=OC=OF，
∴四邊形AFBC為矩形．
∴BF=AC，∠CBF=90°．
∴∠CDE=∠CBF=90°．
∵∠CED=∠FEB，
∴△CED∽△FEB，
∴EB：ED=BF：CD．
∴EB：ED=AC：CD，
∴$\frac{AC}{BE}=\frac{CD}{ED}$．

點(diǎn)評 本題綜合考查了圓周角定理、矩形的判定和性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)，正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵．