Question

6．如圖，拋物線y=x²+bx+c與x軸交于A（-1，0）、B（3，0）兩點(diǎn)．
（1）求該拋物線的解析式；
（2）設(shè)（1）中的拋物線上有一個(gè)動(dòng)點(diǎn)P，當(dāng)點(diǎn)P在該拋物線上滑動(dòng)到什么位置時(shí)，滿足S_△PAB=10，并求出此時(shí)P點(diǎn)的坐標(biāo)；
（3）設(shè)（1）中的拋物線交y軸交于C點(diǎn)，在該拋物線的對(duì)稱軸上是否存在點(diǎn)Q，使△QAC的周長(zhǎng)最��？若存在，求出Q點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)拋物線y=x²+bx+c與x軸交于A（-1，0）、B（3，0）兩點(diǎn)得到關(guān)于b和c的二元一次方程組，解方程組求出b和c的值即可；
（2）設(shè)動(dòng)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（m，m²-2m-3），根據(jù)面積公式求出m的值即可；
（3）設(shè)點(diǎn)C關(guān)于對(duì)稱軸的對(duì)稱點(diǎn)為C′，連接AC′，直線AC′與對(duì)稱軸的交點(diǎn)即為滿足題意的Q點(diǎn)．

解答 解：（1）∵拋物線y=x²+bx+c與x軸交于A（-1，0）、B（3，0）兩點(diǎn)，
∴$\left\{\begin{array}{l}{0=1-b+c}\\{0=9+3b+c}\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{b=-2}\\{c=-3}\end{array}\right.$，
∴拋物線解析式為y=x²-2x-3；

（2）設(shè)動(dòng)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（m，m²-2m-3），
若足S_△PAB=10，
則$\frac{1}{2}$AB×|m²-2m-3|=10，
即2|m²-2m-3|=10，
解得m=4或m=-2；
當(dāng)m=4時(shí)，m²-2m-3=5，
當(dāng)m=-2時(shí)，m²-2m-3=5，
綜上P點(diǎn)的坐標(biāo)為（-2，5）或（4，5）；

（3）設(shè)點(diǎn)C關(guān)于對(duì)稱軸的對(duì)稱點(diǎn)為C′，連接AC′，直線AC′與對(duì)稱軸的交點(diǎn)即為滿足題意的Q點(diǎn)；
∵y=x²-2x-3=（x-1）²-4，
∴拋物線對(duì)稱軸為x=1，C′坐標(biāo)為（2，-3），
設(shè)直線AC′的解析式為y=kx+b，
根據(jù)題意可得$\left\{\begin{array}{l}{0=-k+b}\\{-3=2k+b}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-1}\\{b=-1}\end{array}\right.$，
所以直線AC′的解析式為y=-x-1，
當(dāng)x=1時(shí)，y=-2，
即點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（1，-2）．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了二次函數(shù)的綜合題，此題涉及到待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式、三角形面積的求法、二次函數(shù)的性質(zhì)、軸對(duì)稱的性質(zhì)等知識(shí)，解答（2）關(guān)鍵用m表示出動(dòng)點(diǎn)P的坐標(biāo)，解答（3）問的關(guān)鍵是找出點(diǎn)C關(guān)于對(duì)稱軸的對(duì)稱點(diǎn)為C′，此題難度不大．