Question

10．如圖，點C是線段AB的中點，過點C作CD⊥AB，且CD=AB=8，點P是線段AB上一動點（不包括端點A，B），點Q是線段CD上的動點，CQ=2PC，過點P作PM⊥AD于M點，點N是點A關于直線PM的對稱點，連結NQ，設AP=x．
（1）則AD=4$\sqrt{5}$，AM=$\frac{\sqrt{5}}{5}$x（AM用含x的代數(shù)式表示）；
（2）當點P在線段AC上時，請說明∠MPQ=90°的理由；
（3）若以NQ為直徑作⊙O，在點P的整個運動過程中，
①當⊙O與線段CD相切時，求x的值；
②連結PN交⊙O于I，若NI=1時，請直接寫出所有x的值．

Answer 1

分析 （1）在Rt△ACD中，利用勾股定理即可求出AD，根據(jù)cosA=$\frac{AM}{AP}$=$\frac{AC}{AD}$，構建方程即可求出AM．
（2）由tan∠D=tan∠PQC，推出∠D=∠PQC，推出PQ∥AD即可解決問題．
（3）①分兩種情形當P在線段AC上，即0＜x≤4時．當P在線段BC上，即4＜x＜8時，分別構建方程即可解決問題．
②分兩種情形當P在AC上，當P在線段BC上，分別構建方程即可解決問題．

解答 解：（1）在Rt△ACD中，AC=BC=$\frac{1}{2}$AB=4，CD=AB=8，
∴AD=$\sqrt{A{C}^{2}+C{D}^{2}}$=$\sqrt{A{C}^{2}+C{D}^{2}}$=$\sqrt{{4}^{2}+{8}^{2}}$=4$\sqrt{5}$．
∵cosA=$\frac{AM}{AP}$=$\frac{AC}{AD}$，
∴$\frac{AM}{x}$=$\frac{4}{4\sqrt{5}}$，
∴AM=$\frac{\sqrt{5}}{5}$x．
故答案為4$\sqrt{5}$，$\frac{\sqrt{5}}{5}$x；

（2）如圖1中，

∵tan∠D=$\frac{AC}{CD}$=$\frac{1}{2}$，tan∠PQC=$\frac{PC}{CQ}$=$\frac{1}{2}$，
∴tan∠D=tan∠PQC，
∴∠D=∠PQC，
∴PQ∥AD，
∵PM⊥AD，
∴PM⊥PQ，
∴∠MPQ=90°；

（3）①當P在線段AC上，即0＜x≤4時，
∵⊙O與BC相切，
∴NQ⊥CD，
∵AP=x，
∴CP=4-x，CQ=2PC=8-2x，DQ=8-（8-2x）=2x，DN=AD-2AM=4$\sqrt{5}$-$\frac{2\sqrt{5}}{5}$x，
∵cos∠D=$\frac{CD}{AD}$=$\frac{DQ}{DN}$，
∴$\frac{2x}{4\sqrt{5}-\frac{2\sqrt{5}}{5}x}$=$\frac{8}{4\sqrt{5}}$，
∴x=$\frac{20}{7}$．
當P在線段BC上，即4＜x＜8時，同理可得$\frac{CD}{AD}$=$\frac{DQ}{DN}$，
∵CP=AP-AC=x-4，CQ=2CP=2x-8，DQ=CD-CQ=16-2x，
∴$\frac{16-2x}{4\sqrt{5}-\frac{2\sqrt{5}}{5}x}$=$\frac{8}{4\sqrt{5}}$，
∴x=$\frac{20}{3}$．
綜上所述，x=$\frac{20}{7}$或$\frac{20}{3}$時，⊙O與CD相切．

②當P在AC上時，由題意PN=AP=x，
易證△PQI≌△PQC，可得PI=PC=4-x，
∵IN=1，
∴PI+IN=PN，
∴4-x+1=x，
∴x=$\frac{5}{2}$．
當P在線段BC上，設PN與CD的交點為點E，作NF⊥AB于F，
易知FN=$\frac{4}{5}$x，PF=$\frac{3}{5}$x，則CE=$\frac{4（x-4）}{3}$，PE=$\frac{5（x-4）}{3}$，
∴EN=x-$\frac{5（x-4）}{3}$=$\frac{20-2x}{3}$，EQ=（2x-8）-$\frac{4（x-4）}{3}$=$\frac{2x-8}{3}$，
EI=EN-IN=$\frac{17-2x}{3}$，
在Rt△EQI中，cos∠IEQ=$\frac{EI}{EQ}$=$\frac{4}{5}$，
∴$\frac{17-2x}{3}$=$\frac{4}{5}$×$\frac{2x-8}{3}$，
∴x=$\frac{13}{2}$．

點評 本題考查圓綜合題、切線的判定和性質、全等三角形的判定和性質、相似三角形的判定和性質、銳角三角函數(shù)等知識，解題的關鍵是靈活運用所學知識解決問題，學會用構建方程的思想思考問題，學會分類討論不能漏解，屬于中考壓軸題．