Question

19．如圖，在△OAB中，AO=AB，S_△AOB=10，函數(shù)y=$\frac{k}{x}$（x＞0）圖象與OA交于點(diǎn)C，點(diǎn)D是函數(shù)y=$\frac{4}{x}$（x＞0）的圖象上一點(diǎn)，且CD∥x軸，若∠ADC=90°，則k的值是$\frac{8}{5}$．

Answer 1

分析 過點(diǎn)C作CE⊥x軸于點(diǎn)E，延長AD，交x軸于點(diǎn)F，連接OD，由等腰三角形的性質(zhì)可得出S_△AOF=$\frac{1}{2}$S_△AOB=5，利用反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義可得出S_△OCE=$\frac{1}{2}$k、S_△ODF=$\frac{1}{2}$×4=2，再由△ODF和△OAF等高可得出$\frac{DF}{AF}$=$\frac{2}{5}$，利用相似三角形的判定與性質(zhì)可得出S_△OCE的值，進(jìn)而即可求出k值，此題得解．

解答 解：過點(diǎn)C作CE⊥x軸于點(diǎn)E，延長AD，交x軸于點(diǎn)F，連接OD，如圖所示．
∵AO=AB，CD∥x軸，∠ADC=90°，
∴AF⊥OB，
∴S_△AOF=$\frac{1}{2}$S_△AOB=5．
∵函數(shù)y=$\frac{k}{x}$（x＞0）圖象與OA交于點(diǎn)C，點(diǎn)D是函數(shù)y=$\frac{4}{x}$（x＞0）的圖象上一點(diǎn)，
∴S_△OCE=$\frac{1}{2}$k，S_△ODF=$\frac{1}{2}$×4=2，
∴$\frac{DF}{AF}$=$\frac{{S}_{△ODF}}{{S}_{△AOF}}$=$\frac{2}{5}$．
∵CE⊥x軸，AF⊥x軸，CD∥x軸，
∴△OCE∽△OAF，CE=DF，
∴$\frac{{S}_{OCE}}{{S}_{△AOF}}$=$（\frac{DF}{AF}）^{2}$，
∴S_△OCE=$\frac{1}{2}$k=（$\frac{2}{5}$）²×5=$\frac{4}{5}$，
∴k=$\frac{8}{5}$．
故答案為：$\frac{8}{5}$．

點(diǎn)評 本題考查了反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義、等腰三角形的性質(zhì)以及相似三角形的判定與性質(zhì)，利用相似三角形的性質(zhì)求出S_△OCE的值是解題的關(guān)鍵．