Question

12．已知拋物線y=x²+bx-3（b是常數(shù)）經(jīng)過點(diǎn)A（-1，0）．
（1）求該拋物線的解析式和頂點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）P（m，t）為拋物線上的一個(gè)動點(diǎn)，P關(guān)于原點(diǎn)的對稱點(diǎn)為P'．
①當(dāng)點(diǎn)P'落在該拋物線上時(shí)，求m的值；
②當(dāng)點(diǎn)P'落在第二象限內(nèi)，P'A²取得最小值時(shí)，求m的值．

Answer 1

分析 （1）把A點(diǎn)坐標(biāo)代入拋物線解析式可求得b的值，則可求得拋物線解析式，進(jìn)一步可求得其頂點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）①由對稱可表示出P′點(diǎn)的坐標(biāo)，再由P和P′都在拋物線上，可得到關(guān)于m的方程，可求得m的值；②由點(diǎn)P′在第二象限，可求得t的取值范圍，利用兩點(diǎn)間距離公式可用t表示出P′A²，再由點(diǎn)P′在拋物線上，可以消去m，整理可得到關(guān)于t的二次函數(shù)，利用二次函數(shù)的性質(zhì)可求得其取得最小值時(shí)t的值，則可求得m的值．

解答 解：
（1）∵拋物線y=x²+bx-3經(jīng)過點(diǎn)A（-1，0），
∴0=1-b-3，解得b=-2，
∴拋物線解析式為y=x²-2x-3，
∵y=x²-2x-3=（x-1）²-4，
∴拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)為（1，-4）；

（2）①由P（m，t）在拋物線上可得t=m²-2m-3，
∵點(diǎn)P′與P關(guān)于原點(diǎn)對稱，
∴P′（-m，-t），
∵點(diǎn)P′落在拋物線上，
∴-t=（-m）²-2（-m）-3，即t=-m²-2m+3，
∴m²-2m-3=-m²-2m+3，解得m=$\sqrt{3}$或m=-$\sqrt{3}$；
②由題意可知P′（-m，-t）在第二象限，
∴-m＜0，-t＞0，即m＞0，t＜0，
∵拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（1，-4），
∴-4≤t＜0，
∵P在拋物線上，
∴t=m²-2m-3，
∴m²-2m=t+3，
∵A（-1，0），P′（-m，-t），
∴P′A²=（-m+1）²+（-t）²=m²-2m+1+t²=t²+t+4=（t+$\frac{1}{2}$）²+$\frac{15}{4}$；
∴當(dāng)t=-$\frac{1}{2}$時(shí)，P′A²有最小值，
∴-$\frac{1}{2}$=m²-2m-3，解得m=$\frac{2-\sqrt{14}}{2}$或m=$\frac{2+\sqrt{14}}{2}$，
∵m＞0，
∴m=$\frac{2-\sqrt{14}}{2}$不合題意，舍去，
∴m的值為$\frac{2+\sqrt{14}}{2}$．

點(diǎn)評 本題為二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，涉及待定系數(shù)法、中心對稱、二次函數(shù)的性質(zhì)、勾股定理、方程思想等知識．在（1）中注意待定系數(shù)法的應(yīng)用，在（2）①中求得P′點(diǎn)的坐標(biāo)，得到關(guān)于m的方程是解題的關(guān)鍵，在（2）②中用t表示出P′A²是解題的關(guān)鍵．本題考查知識點(diǎn)較多，綜合性較強(qiáng)，難度適中．