Question

4．已知：如圖，AD、BE分別是△ABC的中線和角平分線，AD⊥BE，AD=BE=6，則AC的長等于$\frac{9\sqrt{5}}{2}$．

Answer 1

分析 過D點作DF∥BE，則DF=$\frac{1}{2}$BE，F(xiàn)為EC中點，在Rt△ADF中求出AF的長度，根據(jù)已知條件易知G為AD中點，因此E為AF中點，則AC=$\frac{3}{2}$AF．

解答 解：過D點作DF∥BE，
∵AD是△ABC的中線，AD⊥BE，
∴F為EC中點，AD⊥DF，
∵AD=BE=6，則DF=3，AF=$\sqrt{A{D}^{2}+D{F}^{2}}$=3$\sqrt{5}$，
∵BE是△ABC的角平分線，AD⊥BE，
∴△ABG≌△DBG，
∴G為AD中點，
∴E為AF中點，
∴AC=$\frac{3}{2}$AF=$\frac{3}{2}$×3$\sqrt{5}$=$\frac{9\sqrt{5}}{2}$．

故答案為：$\frac{9\sqrt{5}}{2}$．

點評 本題考查了三角形中線和角平分線的性質(zhì)以及勾股定理的應(yīng)用，作出輔助線構(gòu)建直角三角形是解題的關(guān)鍵．