Question

7．如圖，已知矩形ABCD 中，E、F 分別為BC、AD 上的點，將四邊形ABEF 沿直線EF 折疊后，點B 落在CD 邊上的點G 處，點A 的對應點為點H．再將折疊后的圖形展開，連接BF、GF、BG，若BF⊥GF．
（1）求證：△ABF≌△DFG；
（2）已知AB=3，AD=5，求tan∠CBG 的值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)∠AFB+∠ABF=90°，∠AFB+∠DFG=90°，即可得到∠ABF=∠DFG，由折疊知BF=GF，根據(jù)AAS即可判定△ABF≌△DFG；
（2）根據(jù)全等三角形的性質可得DF=AB=3，DG=AF，求得DG再根據(jù)，四邊形ABCD是矩形，求得CG，即可得出tan∠CBG 的值．

解答 解：（1）∵四邊形ABCD是矩形，
∴∠A=∠D=90°，
∴∠AFB+∠ABF=90°，
∵BF⊥GF，
∴∠AFB+∠DFG=90°，
∴∠ABF=∠DFG，
由折疊知BF=GF，
在△ABF和△DFG中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠A=∠D}\\{∠ABF=∠DFG}\\{BF=GF}\end{array}\right.$，
∴△ABF≌△DFG（AAS）；

（2）由（1）得DF=AB=3，DG=AF，
∴DG=AF=AD-DF=5-3=2，
∵四邊形ABCD是矩形，
∴CD=AB=3，BC=AD=5，∠C=90°，
∴CG=CD-DG=3-2=1，
∴tan∠CBG=$\frac{CG}{BC}=\frac{1}{5}$．

點評 本題主要考查了折疊問題，全等三角形的判定，矩形的性質以及解直角三角形，解題時注意：折疊是一種對稱變換，它屬于軸對稱，折疊前后圖形的形狀和大小不變，位置變化，對應邊和對應角相等．