Question

15．如圖，在直角坐標系中，以點A（1，0）為圓心，以2為半徑的圓與x軸交于B，C兩點，與y軸交于D，E兩點．
（1）直接寫出B，C，D點的坐標；
（2）若B、C、D三點在拋物線y=ax²+bx+c上，求出這個拋物線的解析式及它的頂點坐標．
（3）若圓A的切線交x軸正半軸于點M，交y軸負半軸于點N，切點為P，∠OMN=30°，試判斷直線MN是否經(jīng)過B、C、D三點所在拋物線的頂點？說明理由．

Answer 1

分析 （1）連接AD，由垂徑定理可求得OD的長，可求得D點的坐標，由半徑和A點坐標可求得B、C的坐標；
（2）利用待定系數(shù)法可求得拋物線解析式，化為頂點式可求得其頂點坐標；
（3）連接AP，在Rt△APM中，可求得OM的長，可求得M點的坐標，從而可求得ON的長，可求得N點坐標，從而可求得直線MN的解析式，再把拋物線的頂點坐標代入進行判斷即可．

解答 解：
（1）如圖1，連接AD，得OA=1，AD=2，

∴OD=$\sqrt{A{D^2}-O{A^2}}=\sqrt{{2^2}-{1^2}}=\sqrt{3}$，
∴D（0，-$\sqrt{3}$），
∵點A（1，0）為圓心，以2為半徑的圓，
與x軸交于B、C兩點，
∴B（-1，0），C（3，0）；

（2）∵B（-1，0），C（3，0），D（0，-$\sqrt{3}$），
∴將B，C，D三點代入拋物線y=ax²+bx+c得 $\left\{\begin{array}{l}0=a-b+c\\ 0=9a+3b+c\\-\sqrt{3}=c\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}a=\frac{{\sqrt{3}}}{3}\\ b=-\frac{{2\sqrt{3}}}{3}\\ c=-\sqrt{3}\end{array}\right.$，
∴拋物線解析式為$y=\frac{{\sqrt{3}}}{3}{x^2}-\frac{{2\sqrt{3}}}{3}x-\sqrt{3}$；
∵$y=\frac{{\sqrt{3}}}{3}{（x-1）^2}-\frac{{4\sqrt{3}}}{3}$，
∴拋物線的頂點坐標為（1，-$\frac{{4\sqrt{3}}}{3}$）；

（3）如圖2，連接AP，在Rt△APM中，∠PMA=30°，AP=2，

∴AM=4，
∴M（5，0），
∵ON=MO×tan30°=$\frac{{5\sqrt{3}}}{3}$，
∴N（0，-$\frac{{5\sqrt{3}}}{3}$），
設直線MN的解析式為y=kx+b，
由于點M（5，0）和N（0，-$\frac{{5\sqrt{3}}}{3}$）在直線MN上，則$\left\{\begin{array}{l}5k+b=0\\ b=-\frac{{5\sqrt{3}}}{3}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}k=\frac{{\sqrt{3}}}{3}\\ b=-\frac{{5\sqrt{3}}}{3}\end{array}\right.$，
∴直線MN的解析式為$y=\frac{{\sqrt{3}}}{3}x-\frac{{5\sqrt{3}}}{3}$，
∵當x=1時，y=-$\frac{{4\sqrt{3}}}{3}$，
∴點（1，-$\frac{{4\sqrt{3}}}{3}$）在直線$y=\frac{{\sqrt{3}}}{3}x-\frac{{5\sqrt{3}}}{3}$上，
即直線MN經(jīng)過拋物線的頂點．

點評 本題為二次函數(shù)的綜合應用，涉及待定系數(shù)法、垂徑定理、勾股定理、三角函數(shù)的定義等知識．在（1）中求D點坐標時注意利用垂徑定理，在（2）中注意待定系數(shù)法的應用，在（3）中求得M、N的坐標是解題的關鍵．本題考查知識點較多，綜合性較強，難度適中．