Question

11．在“母親節(jié)”期間，某校部分團(tuán)員參加社會(huì)公益活動(dòng)，準(zhǔn)備構(gòu)建一批許愿瓶進(jìn)行銷售，并將所得利潤(rùn)捐給慈善機(jī)構(gòu)，根據(jù)市場(chǎng)調(diào)查，這種許愿瓶一段時(shí)間內(nèi)的銷售量y（個(gè)）與銷售單價(jià)x（元/個(gè)）之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系如表所示：
（1）試判斷y與x之間的函數(shù)關(guān)系，并求出函數(shù)關(guān)系式；
（2）若許愿瓶的進(jìn)價(jià)為6元/個(gè)，按照上述市場(chǎng)調(diào)查的銷售規(guī)律，求銷售利潤(rùn)w（元）與銷售單價(jià)x（元/個(gè)）之間的函數(shù)關(guān)系式；為了方便顧客，售價(jià)定位多少時(shí)可獲利1200元；
（3）若許愿瓶的進(jìn)貨成本不超過(guò)900元，要想獲得最大利潤(rùn)，試確定此時(shí)的銷售單價(jià)，并求出此時(shí)的最大利潤(rùn)．

z（元/個(gè)）	16	14	12	10
y（個(gè)）	120	180	240	300

Answer 1

分析 （1）觀察圖表可得該函數(shù)圖象是一次函數(shù)，設(shè)出一次函數(shù)解析式，把其中兩點(diǎn)代入即可求得該函數(shù)解析式，進(jìn)而把其余兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)代入看縱坐標(biāo)是否與點(diǎn)的縱坐標(biāo)相同；
（2）根據(jù)銷售利潤(rùn)=每個(gè)許愿瓶的利潤(rùn)×銷售量列出函數(shù)表達(dá)式；令W=1200，解方程即可．
（3）根據(jù)進(jìn)貨成本可得自變量的取值，結(jié)合二次函數(shù)的關(guān)系式即可求得相應(yīng)的最大利潤(rùn)．

解答 解：（1）y是x的一次函數(shù)，設(shè)y=kx+b圖象過(guò)點(diǎn)（10，300），（12，240），
$\left\{\begin{array}{l}{10k+b=300}\\{12k+b=240}\end{array}\right.$，
解得
$\left\{\begin{array}{l}{k=-30}\\{b=600}\end{array}\right.$，
故y與x 之間的函數(shù)關(guān)系為：y=-30x+600，
當(dāng)x=14時(shí)，y=180；當(dāng)x=16時(shí)，y=120，
即點(diǎn)（14，180），（16，120）均在函數(shù)y=-30x+600的圖象上．
∴y與x之間的函數(shù)關(guān)系式為y=-30x+600；
（2）w=（x-6）（-30x+600）=-30x²+780x-3600
即w與x之間的函數(shù)關(guān)系式為w=-30x²+780x-3600；
令W=1200，則-30x²+780x-3600=1200，
解得：x₁=10，x₂=16，
因?yàn)榱朔奖泐櫩�，所以售價(jià)定位為10元時(shí)可獲利1200元．
（3）由題意得6（-30x+600）≤900，解得x≥15．
w=-30x²+780x-3600=-30（x-13）²+1350，
∵對(duì)稱軸為x=13，a=-30＜0，
∴拋物線開(kāi)口向下，當(dāng)x≥15時(shí)，w隨x增大而減小，
∴當(dāng)x=15時(shí)，w_最大=1350．
即以15元/個(gè)的價(jià)格銷售這批許愿瓶可獲得最大利潤(rùn)1350元．

點(diǎn)評(píng) 此題主要考查了二次函數(shù)的最值問(wèn)題、利用待定系數(shù)法求一次函數(shù)得解析式、掌握待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式以及配方法求二次函數(shù)的最值是解題的關(guān)鍵．