Question

【題目】如圖，中，，的平分線與邊的垂直平分線相交于點，交的延長線于點，于點，現(xiàn)有下列結論：①；②；③平分；④，其中正確的是（ ）

A.①②B.①②③C.①②④D.①②③④

Answer 1

【答案】C

【解析】

①由角平分線的性質可知①正確；

②由題意可知∠EAD=∠FAD=30°，故此可知ED=AD，DF=AD，從而可證明②正確；

③若DM平分∠EDF，則∠EDM=90°，從而得到∠ABC為直角三角形，條件不足，不能確定，故③錯誤；

④連接BD、DC，然后證明△EBD≌△DFC，從而得到BE=FC，從而可證明④．

解：如圖所示：連接BD、DC．

①∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴ED=DF．
∴①正確．
②∵∠EAC=60°，AD平分∠BAC，
∴∠EAD=∠FAD=30°．
∵DE⊥AB，
∴∠AED=90°．
∵∠AED=90°，∠EAD=30°，
∴ED=AD．
同理：DF=AD．
∴DE+DF=AD．
∴②正確．
③由題意可知：∠EDA=∠ADF=60°．
假設MD平分∠EDF，則∠ADM=30°．則∠EDM=90°，
又∵∠E=∠BMD=90°，
∴∠EBM=90°．
∴∠ABC=90°．
∵∠ABC是否等于90°不知道，
∴不能判定MD平分∠EDF，
故③錯誤．
④∵DM是BC的垂直平分線，
∴DB=DC．
在Rt△BED和Rt△CFD中

，
∴Rt△BED≌Rt△CFD．
∴BE=FC．
∴AB+AC=AE-BE+AF+FC
又∵AE=AF，BE=FC，
∴AB+AC=2AE．故④正確．

綜上所述，①②④正確，
故選：C．